自动控制原理 | 02数学模型

笔记目录

2.1 时域数学模型

2.1.1 微分方程（时域数学模型）

• 线性定常系统微分方程的 一般形式 ：

$$\begin{gathered} a_n\frac{d^{n}c(t)}{d{t}^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}c(t)}{d{t}^{n-1}}+\cdot \cdot \cdot +a_1\frac{dc(t)}{dt}+a_{0}c(t) \\ =b_n\frac{d^{m}r(t)}{d{t}^m}+b_{m-1}\frac{d^{m-1}r(t)}{d{t}^{m-1}}+\cdot \cdot \cdot +b_1\frac{dr(t)}{dt}+b_{0}r(t) \end{gathered}$$

• 微分方程求解方法（求f(t)）：用拉氏变换方法解微分方程
  (1) 系统的微分方程：
  $$\{\begin{array}{c}{y}^{\prime \prime }(t)+a_1{y}^{\prime }(t)+a_{2}y(t)=1(t)\\ y(0)=y^{\prime }(0)=0\end{array}$$
  (2) L变换（拉氏变换）：
  $$(s^2+a_{1}s+a_2).Y(s)=\frac{1}{s}$$ $$Y(s)=\frac{1}{s(s^2+a_{1}s+a_2)}$$
  (3) L^-1变换（拉氏变换）：
  $$y(t)=L^{-1}[Y(s)]$$

2.2.2 传递函数（复域数学模型）

• 传递函数：在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。
  $$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}$$

• 微分方程一般表达式：
  $$\begin{gathered} a_n{c}^{(n)}+a_{n-1}{c}^{(n-1)}+...+a_1{c}^{\prime }+a_{0}c \\ =b_m{r}^{(m)}+b_{m-1}{r}^{(m-1)}+...+b_1{r}^{\prime }+b_{0}r(t) \end{gathered}$$

• 拉氏变换
  $$\begin{gathered} [a_n{s}^{(n)}+a_{n-1}{s}^{(n-1)}+...+a_{1}s+a_0]C(s) \\ =[b_m{s}^{(m)}+b_{m-1}{s}^{(m-1)}+...+b_{1}s+b_0]R(t) \end{gathered}$$

• 传递函数
  $$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_m{s}^{(m)}+b_{m-1}{s}^{(m-1)}+...+b_{1}s+b_0}{a_n{s}^{(n)}+a_{n-1}{s}^{(n-1)}+...+a_{1}s+a_0}=G(s)$$
  标准式$$G(s)=\frac{K^{\ast }{\prod }_{j=1}^m(s-z_j)}{{\prod }_{i=1}^n(s-p_i)}$$

2.2 复域数学模型

环节： 具有相同形式传递函数的元部件的分类。

• 典型环节：

2.3 动态结构图及其等效变换

2.3.1 动态结构图

动态结构图是一种数学模型，采用它将更便于求传递函数，同时能形象直观地表明输入信号在系统或元件中的传递过程。构成动态结构图的基本符号有四种，即信号线、传递方框、综合点和引出点。

• 信号线： 信号输入、输出的通道，箭头代表信号传递的方向。

• 传递方框： 方框的两侧为输入信号线和输出信号线，方框内写入该输入、输出之间的传递函数G(s)。

• 综合点 ：表示几个信号相加、减，叉圈符号的输出量即为诸信号的代数和，负信号需在信号线的箭头附近标以负号。

• 引出点 ：表示同一信号传输到几个地方

2.3.2 等效变换

• 串联连接 :方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称为串联连接。

$$\begin{gathered} C(s)=G_1(s)G_2(s)R(s) \\ =>G_{串联}(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=G_1{G}_2(s) \end{gathered}$$

• 并联连接 :两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形式的连接称为并联连接。

$$\begin{gathered} C(s)=[-G_1(s)+G_2(s)]R(s) \\ =>G_{并联}(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=-G_1+G_2(s) \end{gathered}$$

• 反馈连接：一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输入信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。

$$G_{反馈}(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1-H(s)G(s)}$$

• 综合点的移动（后移）

$$C_{前}(s)=[R(s)\pm A(s)]G(s)$$$$C_{后}(s)=R(s)G(s)\pm A(s)G(s)$$

• 综合点的移动（前移）

$$C_{前}(s)=R(s)G(s)\pm A(s)$$$$C_{后}(s)=R(s)G(s)\pm A(s)\frac{1}{G(s)}$$

• 综合点之间的移动 :多个相邻的综合点可以随意交换位置。

• 引出点的移动

2.4 信号流图

结构图	信号流图
输入信号	源节点
输出信号	阱节点
比较点，引出点	混合节点
环节	支路
环节传递函数	支路增益
	前向通路
	回路
	互不接触回路

2.5 梅逊增益公式（Mason公式）

$$G(s)=\frac{1}{△}\sum _{k=1}^n{P}_k{△}_k$$

$△$——特征式，$△$=1-$\sum L_a+\sum L_b{L}_c+\sum L_d{L}_e{L}_f+...$
n —— 前向通路的条数
$P_k$ —— 第k条前向通路的总增益
$\sum L_a$ —— 所有不同回路的回路增益之和
$\sum L_b{L}_c$ —— 两两互不接触回路的回路增益乘积之和
$\sum L_d{L}_e{L}_f$ —— 互不接触回路中，每次取其中三个的回路增益乘积之和
${△}_k$ —— 第k条前向通路的余子式(把与第k条前向通路接触的回路去除，剩余回路构成的子特征式

后续持续更新完善，如有错误请批评指正。