分段三次埃尔米特插值

引入：

Hermite插值定义：对于一个n+1个节点的插值问题，要求在给定的节点处，插值多项式的函数值与节点的函数值相等。同时插值多项式的一阶甚至到指定高阶的导数值，也与该节点相应阶导数值相同。这样做能保证插值曲线在节点处有切线(光滑)。

插值多项式应满足：

     n+1个节点以及n+1个导数值，总共2n+2个条件方程，能解出2n+2个待定系数，所以H(x) 可以是最高次数为2n+1次的多项式。

分段三次埃尔米特插值

定义：满足埃尔米特插值多项式的定义同时，在每个子区间[Xi-1,Xi]上，H（x）均是三次多项式，且可分段表示为：

其中Sk（x）是关于节点Xk-1，Xk，且满足插值条件（两节点处的函数值以及导数值均与原函数对应相等）的三次代数多项式。

代码：运用matlab内置函数pchip()

% 分段三次埃尔米特插值
x = -pi:pi/2:pi; y = sin(x); % 已知的样本节点的横坐标，纵坐标
new_x = -pi:0.1:pi; % 要插入节点的横坐标
p = pchip(x,y,new_x);
plot(x, y, '*r', new_x, p, '.b-'); % 在同一张图中绘制样本点以及埃尔米特插值函数的图像

运行结果如图：

 可见，使用分段三次Hermite插值逼近sin（x），没有龙格现象（插值多项式的震荡，即在两段处波动极大，产生明显的震荡），图中 红色'*' 为原样本点，蓝色'.'为要插入的节点。