PT_二维随机变量:正态分布的可加性/一维随机变量函数与正态分布
文章目录
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- 一维随机变量函数与正态分布
- 正态分布的可加性
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- 记号和说明
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- 化简y
- y的记号
- 代回表达式
- 小结
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一维随机变量函数与正态分布
- PT_随机变量函数的分布_随机变量线性函数的正态分布_xuchaoxin1375的博客-CSDN博客
正态分布的可加性
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区别于一维随机变量的函数的正态分布的规律,多维随机变量(各个分量相互独立同分布)具有不同的规律
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在一维的情况中, X ∼ N ( μ , σ 2 ) , 则 Y = a X + b ∼ N ( a μ + b , a 2 σ 2 ) X\sim{N(\mu,\sigma^2)},则Y=aX+b\sim{N(a\mu+b,a^2\sigma^2)} X∼N(μ,σ2),则Y=aX+b∼N(aμ+b,a2σ2)
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n 为随机变量 ( n 个独立的随机变量 X i ) 服从的正态分布满足可加性 : n为随机变量(n个独立的随机变量X_i)服从的正态分布满足可加性: n为随机变量(n个独立的随机变量Xi)服从的正态分布满足可加性:
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X i ∼ N ( μ i , σ i 2 ) , i = 1 , 2 , ⋯ X_i\sim{N(\mu_i,\sigma_i^2)},i=1,2,\cdots Xi∼N(μi,σi2),i=1,2,⋯
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T = ∑ i = 1 n X i ∼ N ( ∑ i = 1 n μ i , ∑ i = 1 n σ i 2 ) T=\sum\limits_{i=1}^{n}X_i \sim{N(\sum\limits_{i=1}^{n}\mu_i,\sum\limits_{i=1}^{n}\sigma_i^2)} T=i=1∑nXi∼N(i=1∑nμi,i=1∑nσi2)
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特别的,当 X i X_i Xi之间是独立且同分布的时候
μ i = μ , σ i = σ ; ( i = 1 , 2 , ⋯ ) S = ∑ i = 1 n X i ∼ N ( n μ , n σ 2 ) X ‾ = 1 n S ∼ N ( 1 n n μ , 1 n 2 n σ 2 ) 即 : X ‾ = 1 n S ∼ N ( μ , 1 n σ 2 ) \mu_i=\mu,\sigma_i=\sigma;(i=1,2,\cdots) \\S=\sum\limits_{i=1}^{n}X_i \sim{N(n\mu,n\sigma^2)} \\\overline{X}=\frac{1}{n}S\sim{N(\frac{1}{n}n\mu,\frac{1}{n^2}n\sigma^2)} \\ 即:\overline{X}=\frac{1}{n}S\sim{N( \mu,\frac{1}{n}\sigma^2)} μi=μ,σi=σ;(i=1,2,⋯)S=i=1∑nXi∼N(nμ,nσ2)X=n1S∼N(n1nμ,n21nσ2)即:X=n1S∼N(μ,n1σ2)
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需要小心区分的情况是:
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有a个独立同分布的变量 X i , i = 1 , 2 , ⋯ , a X_i,i=1,2,\cdots,a Xi,i=1,2,⋯,a
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T = ∑ i = 1 a X i ∼ N ( ∑ i = 1 a μ i , ∑ i = 1 a σ i 2 ) T=\sum\limits_{i=1}^{a}X_i \sim{N(\sum\limits_{i=1}^{a}\mu_i,\sum\limits_{i=1}^{a}\sigma_i^2)} T=i=1∑aXi∼N(i=1∑aμi,i=1∑aσi2)
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而不是 N ( a μ + b , a 2 σ 2 ) N(a\mu+b,a^2\sigma^2) N(aμ+b,a2σ2)
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设 X , Y 是相互独立的随机变量 , X ∼ N ( μ 1 , σ 1 2 ) 设X,Y是相互独立的随机变量,X\sim{N(\mu_1,\sigma_1^2)} 设X,Y是相互独立的随机变量,X∼N(μ1,σ12)
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Y ∼ N ( μ 2 , σ 2 2 ) Y\sim{N(\mu_2,\sigma_2^2)} Y∼N(μ2,σ22)
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Z = X + Y ∼ N ( μ 1 + μ 2 , σ 1 2 + σ 2 2 ) Z=X+Y\sim{N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)} Z=X+Y∼N(μ1+μ2,σ12+σ22)
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借助概率卷积公式:
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f z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f X ( x ) f Y ( z − x ) d x 其中 : f X ( x ) = 1 2 π σ 1 e − u 2 2 = 1 2 π σ 1 e − ( x − μ 1 ) 2 2 σ 1 2 f Y ( y ) = 1 2 π σ 2 e − v 2 2 = 1 2 π σ 2 e − ( x − μ 2 ) 2 2 σ 2 2 f Y ( z − x ) = 1 2 π σ 2 e − v 2 2 = 1 2 π σ 2 e − ( ( z − x ) − μ 2 ) 2 2 σ 2 2 f z ( z ) = 1 2 π σ 1 σ 2 ∫ − ∞ + ∞ e − 1 2 ( u 2 + v 2 ) d x f_z(z)=\int_{-\infin}^{+\infin}f_X(x)f_Y(z-x)dx \\其中: f_{X}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1} e^{-\frac{u^2}{2}} =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1} e^{-\frac{({x-\mu_1})^2}{2\sigma_1^2}} \\ f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2} e^{-\frac{v^2}{2}} =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2} e^{-\frac{({x-\mu_2})^2}{2\sigma_2^2}} \\ f_Y(z-x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2} e^{-\frac{v^2}{2}} =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2} e^{-\frac{({(z-x)-\mu_2})^2}{2\sigma_2^2}} \\ f_z(z)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2} \int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{1}{2}{(u^2+v^2)}}dx fz(z)=∫−∞+∞fX(x)fY(z−x)dx其中:fX(x)=2πσ11e−2u2=2πσ11e−2σ12(x−μ1)2fY(y)=2πσ21e−2v2=2πσ21e−2σ22(x−μ2)2fY(z−x)=2πσ21e−2v2=2πσ21e−2σ22((z−x)−μ2)2fz(z)=2πσ1σ21∫−∞+∞e−21(u2+v2)dx
- u = u ( x ) = x − μ 1 σ 1 ; v = v ( y ) = y − μ 2 σ 2 t = u 2 + v 2 = 1 σ 1 2 ( x − μ 1 ) 2 + 1 σ 2 2 ( y − μ 2 ) 2 = 1 σ 1 2 σ 2 2 ( σ 2 2 ( x − μ 1 ) 2 + σ 1 2 ( y − μ 2 ) 2 ) u=u(x)=\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}; v=v(y)=\frac{y-\mu_2}{\sigma_2} \\t=u^2+v^2=\frac{1}{\sigma_1^2}(x-\mu_1)^2 +\frac{1}{\sigma_2^2}(y-\mu_2)^2 \\=\frac{1}{\sigma_1^2\sigma_2^2} ( \sigma_2^2(x-\mu_1)^2+\sigma_1^2(y-\mu_2)^2 ) u=u(x)=σ1x−μ1;v=v(y)=σ2y−μ2t=u2+v2=σ121(x−μ1)2+σ221(y−μ2)2=σ12σ221(σ22(x−μ1)2+σ12(y−μ2)2)
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记号和说明
- 记 : q = 1 σ 1 2 σ 2 2 σ 1 σ 2 = q − 1 y = σ 2 2 ( x − μ 1 ) 2 + σ 1 2 ( y − μ 2 ) 2 t = q y \\记: \\q=\frac{1}{\sigma_1^2\sigma_2^2} \\ \sigma_1\sigma_2=\sqrt{q^{-1}} \\y=\sigma_2^2(x-\mu_1)^2+\sigma_1^2(y-\mu_2)^2 \\ t=qy \\ 记:q=σ12σ221σ1σ2=q−1y=σ22(x−μ1)2+σ12(y−μ2)2t=qy
化简y
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y = σ 2 2 ( x − μ 1 ) 2 + σ 1 2 ( z − x − μ 2 ) 2 = σ 2 2 ( x − μ 1 ) 2 + σ 1 2 ( ( z − μ 2 ) − x ) 2 = σ 2 2 ( x 2 − 2 x μ 1 + μ 1 2 ) + σ 1 2 ( z − μ 2 ) 2 − 2 σ 1 2 ( z − μ 2 ) x + σ 1 2 x 2 = ( σ 2 2 + σ 1 2 ) x 2 + x ( − 2 σ 2 2 μ 1 − 2 σ 1 2 ( z − μ 2 ) ) + σ 2 2 μ 1 2 + σ 1 2 ( z − μ 2 ) 2 = ( σ 2 2 + σ 1 2 ) ( x 2 + 2 x ( − σ 2 2 μ 1 − σ 1 2 ( z − μ 2 ) ) ( σ 2 2 + σ 1 2 ) ) + σ 2 2 μ 1 2 + σ 1 2 ( z − μ 2 ) 2 = ( σ 2 2 + σ 1 2 ) ( ( x − ( σ 2 2 μ 1 + σ 1 2 ( z − μ 2 ) ) ( σ 2 2 + σ 1 2 ) ) 2 − ( ( σ 2 2 μ 1 + σ 1 2 ( z − μ 2 ) ) ( σ 2 2 + σ 1 2 ) ) 2 ) + σ 2 2 μ 1 2 + σ 1 2 ( z − μ 2 ) 2 y=\sigma_2^2(x-\mu_1)^2+\sigma_1^2(z-x-\mu_2)^2 \\=\sigma_2^2(x-\mu_1)^2+\sigma_1^2((z-\mu_2)-x)^2 \\=\sigma_2^2(x^2-2x\mu_1+\mu_1^2)+\sigma_1^2(z-\mu_2)^2-2\sigma_1^2(z-\mu_2)x+\sigma_1^2x^2 \\=(\sigma_2^2+\sigma_1^2)x^2 +x(-2\sigma_2^2\mu_1-2\sigma_1^2(z-\mu_2)) +\sigma_2^2\mu_1^2+\sigma_1^2(z-\mu_2)^2 \\\\=(\sigma_2^2+\sigma_1^2) ( x^2+2x \frac{(-\sigma_2^2\mu_1-\sigma_1^2(z-\mu_2))} {(\sigma_2^2+\sigma_1^2)} ) +\sigma_2^2\mu_1^2+\sigma_1^2(z-\mu_2)^2 \\\\=(\sigma_2^2+\sigma_1^2) (( x -\frac{(\sigma_2^2\mu_1+\sigma_1^2(z-\mu_2))} {(\sigma_2^2+\sigma_1^2)} )^2 -(\frac{(\sigma_2^2\mu_1+\sigma_1^2(z-\mu_2))} {(\sigma_2^2+\sigma_1^2)})^2) \\+\sigma_2^2\mu_1^2+\sigma_1^2(z-\mu_2)^2 y=σ22(x−μ1)2+σ12(z−x−μ2)2=σ22(x−μ1)2+σ12((z−μ2)−x)2=σ22(x2−2xμ1+μ12)+σ12(z−μ2)2−2σ12(z−μ2)x+σ12x2=(σ22+σ12)x2+x(−2σ22μ1−2σ12(z−μ2))+σ22μ12+σ12(z−μ2)2=(σ22+σ12)(x2+2x(σ22+σ12)(−σ22μ1−σ12(z−μ2)))+σ22μ12+σ12(z−μ2)2=(σ22+σ12)((x−(σ22+σ12)(σ22μ1+σ12(z−μ2)))2−((σ22+σ12)(σ22μ1+σ12(z−μ2)))2)+σ22μ12+σ12(z−μ2)2
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y = ( σ 2 2 + σ 1 2 ) ( x − ( σ 2 2 μ 1 + σ 1 2 ( z − μ 2 ) ) ( σ 2 2 + σ 1 2 ) ) 2 ) − ( σ 2 2 + σ 1 2 ) ( ( σ 2 2 μ 1 + σ 1 2 ( z − μ 2 ) ) ( σ 2 2 + σ 1 2 ) ) 2 ) + σ 2 2 μ 1 2 + σ 1 2 ( z − μ 2 ) 2 = ( σ 2 2 + σ 1 2 ) ( x − ( σ 2 2 μ 1 + σ 1 2 ( z − μ 2 ) ) ( σ 2 2 + σ 1 2 ) ) 2 ) − ( σ 2 2 μ 1 + σ 1 2 ( z − μ 2 ) ) 2 ( σ 2 2 + σ 1 2 ) + σ 2 2 μ 1 2 + σ 1 2 ( z − μ 2 ) 2 \\y=(\sigma_2^2+\sigma_1^2) ( x -\frac{(\sigma_2^2\mu_1+\sigma_1^2(z-\mu_2))} {(\sigma_2^2+\sigma_1^2)} )^2) \\-(\sigma_2^2+\sigma_1^2)(\frac{(\sigma_2^2\mu_1+\sigma_1^2(z-\mu_2))} {(\sigma_2^2+\sigma_1^2)})^2) \\+\sigma_2^2\mu_1^2+\sigma_1^2(z-\mu_2)^2 \\\\=(\sigma_2^2+\sigma_1^2) ( x -\frac{(\sigma_2^2\mu_1+\sigma_1^2(z-\mu_2))} {(\sigma_2^2+\sigma_1^2)} )^2) \\- \frac{(\sigma_2^2\mu_1+\sigma_1^2(z-\mu_2))^2} {(\sigma_2^2+\sigma_1^2)} \\+\sigma_2^2\mu_1^2+\sigma_1^2(z-\mu_2)^2 y=(σ22+σ12)(x−(σ22+σ12)(σ22μ1+σ12(z−μ2)))2)−(σ22+σ12)((σ22+σ12)(σ22μ1+σ12(z−μ2)))2)+σ22μ12+σ12(z−μ2)2=(σ22+σ12)(x−(σ22+σ12)(σ22μ1+σ12(z−μ2)))2)−(σ22+σ12)(σ22μ1+σ12(z−μ2))2+σ22μ12+σ12(z−μ2)2
y = ( σ 2 2 + σ 1 2 ) ( x − ( σ 2 2 μ 1 + σ 1 2 ( z − μ 2 ) ) ( σ 2 2 + σ 1 2 ) ) 2 − ( σ 2 2 μ 1 + σ 1 2 ( z − μ 2 ) ) 2 ( σ 2 2 + σ 1 2 ) + σ 2 2 μ 1 2 + σ 1 2 ( z − μ 2 ) 2 y=(\sigma_2^2+\sigma_1^2) ( x -\frac{(\sigma_2^2\mu_1+\sigma_1^2(z-\mu_2))} {(\sigma_2^2+\sigma_1^2)} )^2 \\- \frac{(\sigma_2^2\mu_1+\sigma_1^2(z-\mu_2))^2} {(\sigma_2^2+\sigma_1^2)} \\+\sigma_2^2\mu_1^2+\sigma_1^2(z-\mu_2)^2 y=(σ22+σ12)(x−(σ22+σ12)(σ22μ1+σ12(z−μ2)))2−(σ22+σ12)(σ22μ1+σ12(z−μ2))2+σ22μ12+σ12(z−μ2)2
y的记号
为了便于书写和演算 , 记 : A = ( σ 2 2 + σ 1 2 ) B = σ 2 2 μ 1 + σ 1 2 ( z − μ 2 ) C = σ 2 2 μ 1 2 + σ 1 2 ( z − μ 2 ) 2 为了便于书写和演算,记: \\ A=(\sigma_2^2+\sigma_1^2) \\ B=\sigma_2^2\mu_1+\sigma_1^2(z-\mu_2) \\ C=\sigma_2^2\mu_1^2+\sigma_1^2(z-\mu_2)^2 为了便于书写和演算,记:A=(σ22+σ12)B=σ22μ1+σ12(z−μ2)C=σ22μ12+σ12(z−μ2)2
y = A ( x − B A ) 2 − B 2 A + C = A ( x − B A ) 2 + A C − B 2 A y=A(x-\frac{B}{A})^2-\frac{B^2}{A}+C \\=A(x-\frac{B}{A})^2+\frac{AC-B^2}{A} \\ y=A(x−AB)2−AB2+C=A(x−AB)2+AAC−B2
- 将 A C − B 2 A 展开整理并合并后 , 可以得到 A C − B 2 A = ( σ 1 σ 2 ) 2 σ 1 2 + σ 2 2 ( z − μ 1 − μ 2 ) 2 将\frac{AC-B^2}{A}展开整理并合并后,可以得到 \\ \frac{AC-B^2}{A} =\frac{(\sigma_1\sigma_2)^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}(z-\mu_1-\mu_2)^2 将AAC−B2展开整理并合并后,可以得到AAC−B2=σ12+σ22(σ1σ2)2(z−μ1−μ2)2
代回表达式
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f z ( z ) = 1 2 π σ 1 σ 2 ∫ − ∞ + ∞ e − 1 2 t d x f z ( z ) = 1 2 π σ 1 σ 2 ∫ − ∞ + ∞ e − 1 2 q y d x = 1 2 π σ 1 σ 2 ∫ − ∞ + ∞ e − 1 2 ( q − 1 ) ( A ( x − B A ) 2 + A C − B 2 A ) d x f_z(z)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2} \int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{1}{2}t}dx \\ f_z(z)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2} \int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{1}{2}qy}dx \\\\ =\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2} \int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{1}{2(q^{-1})}{(A(x-\frac{B}{A})^2+\frac{AC-B^2}{A})}}dx \\\\ fz(z)=2πσ1σ21∫−∞+∞e−21tdxfz(z)=2πσ1σ21∫−∞+∞e−21qydx=2πσ1σ21∫−∞+∞e−2(q−1)1(A(x−AB)2+AAC−B2)dx
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= 1 2 π σ 1 σ 2 e − A C − B 2 2 A ( q − 1 ) ∫ − ∞ + ∞ e − 1 2 ( q − 1 ) A ( x − B A ) 2 d x = 1 2 π σ 1 σ 2 e − A C − B 2 2 A ( q − 1 ) ∫ − ∞ + ∞ e − 1 2 ( A q ) − 1 ( x − B A ) 2 d x = 1 2 π σ 1 σ 2 e − A C − B 2 2 A ( q − 1 ) ( 2 π ( A q ) − 1 ) 1 2 π ( A q ) − 1 ∫ − ∞ + ∞ e − 1 2 ( A q ) − 1 ( x − B A ) 2 d x = 1 2 π q − 1 e − A C − B 2 2 A ( q − 1 ) ( 2 π ( A q ) − 1 ) 其中 σ 1 2 σ 2 = q − 1 A C − B 2 A = ( σ 1 σ 2 ) 2 σ 1 2 + σ 2 2 ( z − μ 1 − μ 2 ) 2 = 1 2 π q − 1 ( ( A q ) ) e − A C − B 2 2 A ( q − 1 ) = 1 2 π ( A ) e − 1 2 ( σ 1 2 σ 2 ) ( σ 1 σ 2 ) 2 σ 1 2 + σ 2 2 ( z − μ 1 − μ 2 ) 2 = 1 2 π ( σ 1 2 + σ 2 2 ) e − 1 2 1 σ 1 2 + σ 2 2 ( z − ( μ 1 + μ 2 ) ) 2 =\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}e^{-\frac{AC-B^2}{2A(q^{-1})}} \int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{1}{2(q^{-1})}{A(x-\frac{B}{A})^2}}dx \\=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}e^{-\frac{AC-B^2}{2A(q^{-1})}} \int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{1}{2(Aq)^{-1}}{(x-\frac{B}{A})^2}}dx \\=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}e^{-\frac{AC-B^2}{2A(q^{-1})}} (\sqrt{2\pi}\sqrt{(Aq)^{-1}}) \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{(Aq)^{-1}}} \int_{-\infin}^{+\infin}e^{-\frac{1}{2(Aq)^{-1}}{(x-\frac{B}{A})^2}}dx \\=\frac{1}{2\pi\sqrt{q^{-1}}}e^{-\frac{AC-B^2}{2A(q^{-1})}} (\sqrt{2\pi}\sqrt{(Aq)^{-1}}) \\其中\sigma_1^2\sigma^2=q^{-1} \\ \frac{AC-B^2}{A} =\frac{(\sigma_1\sigma_2)^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}(z-\mu_1-\mu_2)^2 \\=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{q^{-1}}(\ \sqrt{(Aq)})}e^{-\frac{AC-B^2}{2A(q^{-1})}} \\=\frac{1}{\sqrt{2\pi}(\sqrt{A})}e^{-\frac{1}{2(\sigma_1^2\sigma^2)}\frac{(\sigma_1\sigma_2)^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}(z-\mu_1-\mu_2)^2} \\=\frac{1}{\sqrt{2\pi}(\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2})} e^{-\frac{1}{2 }\frac{1}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}(z-(\mu_1+\mu_2))^2} =2πσ1σ21e−2A(q−1)AC−B2∫−∞+∞e−2(q−1)1A(x−AB)2dx=2πσ1σ21e−2A(q−1)AC−B2∫−∞+∞e−2(Aq)−11(x−AB)2dx=2πσ1σ21e−2A(q−1)AC−B2(2π(Aq)−1)2π(Aq)−11∫−∞+∞e−2(Aq)−11(x−AB)2dx=2πq−11e−2A(q−1)AC−B2(2π(Aq)−1)其中σ12σ2=q−1AAC−B2=σ12+σ22(σ1σ2)2(z−μ1−μ2)2=2πq−1( (Aq))1e−2A(q−1)AC−B2=2π(A)1e−2(σ12σ2)1σ12+σ22(σ1σ2)2(z−μ1−μ2)2=2π(σ12+σ22)1e−21σ12+σ221(z−(μ1+μ2))2
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因此: Z = X + Y ∼ N ( μ 1 + μ 2 , σ 1 2 + σ 2 2 ) Z=X+Y\sim{N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)} Z=X+Y∼N(μ1+μ2,σ12+σ22)
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小结
- 可加性的推导过程中需要比较繁琐的计算和书写,需要一定的技巧和耐心
- 特别是确定均值 μ 1 + μ 2 \mu_1+\mu_2 μ1+μ2的过程过程是不太容易看出来,需要经验
- 一般结合猜想取验证