线性代数笔记2：基本子空间的正交性及性质

基本子空间中有着更加特殊和精确的关系，由此可以引出向量空间的正交性及投影等问题。

正交性及正交补

定义：设 S S 和T T 是 Rn R n 的两个子空间（subspace），如果对于 ∀V∈S，w∈T，vTw=0 ∀ V ∈ S ， w ∈ T ， v T w = 0 ，则 S S 垂直于T T （S is perpendicular to T），并且，这个定义是对称的，即 S S 垂直于T T <=> T T 垂直于S S 。记做 S⊥T S ⊥ T 。也可以说 S S 和T T 是正交的（S and T are orthogonal）。

几个常见结论

1. 设 A=B1B2 A = B 1 B 2 ，其中 B1 B 1 是 n×r n × r 矩阵， B2 B 2 是 r×n r × n 矩阵，后两矩阵秩都为 r r ，则A A 是一个 n×n矩阵，且r(A)=r n × n 矩 阵 ， 且 r ( A ) = r 。

   A A 的每一列是B1 B 1 的列向量的线性组合，因此 C(A)⊂C(B1) C ( A ) ⊂ C ( B 1 ) 。
   A A 的每一列是B2 B 2 的行向量的线性组合，因此 C(AT)⊂C(BT2) C ( A T ) ⊂ C ( B 2 T ) 。
   B1 B 1 是列满秩，则存在可逆 n×n n × n 矩阵 E1 E 1 ， E1B1=(Ir 0)T E 1 B 1 = ( I r   0 ) T 。
   B2 B 2 是行满秩，则存在可逆 n×n n × n 矩阵 E2 E 2 ， B2E2=(Ir 0) B 2 E 2 = ( I r   0 ) 。
   C(A)=C(AE2)=C(B1(Ir 0))=C(B1) C ( A ) = C ( A E 2 ) = C ( B 1 ( I r   0 ) ) = C ( B 1 ) 。因此， dimC(A)=dimC(B1) d i m C ( A ) = d i m C ( B 1 ) ，即 r(A)=r(B1)=r r ( A ) = r ( B 1 ) = r 。

2. 若 A A 的列向量线性无关，则ATA A T A 为可逆方阵。

   A A 列满秩 => Ax=0 A x = 0 只有零解 => ATAx=0 A T A x = 0 只有零解 => ATA A T A 列满秩。
   又因为 ATA A T A 是 n×n n × n 方阵，因此为可逆矩阵。

3. 若 S∩T≠{0} S ∩ T ≠ { 0 } ，则 ∃v∈S∩T，vTv≠0 ∃ v ∈ S ∩ T ， v T v ≠ 0 。因此 S S 和T T 不正交。
   命题：设 S S 和T T 是 Rn R n 中的两个子空间，且 dimS+dimT>n，则S和T d i m S + d i m T > n ， 则 S 和 T 不正交。

子空间的正交性

定理：设 A A 是 n×n n × n 矩阵，则 C(A)和N(AT) C ( A ) 和 N ( A T ) 正交， C(AT) C ( A T ) 和 N(A) N ( A ) 正交。

设 α∈N(AT) α ∈ N ( A T ) ，则 αTA=0 α T A = 0 。
因此 α和A α 和 A 的全部列向量垂直。可以得到 N(AT)⊥C(A) N ( A T ) ⊥ C ( A ) 。
将 A A 换成AT A T ，可以得到 C(AT)⊥N(A) C ( A T ) ⊥ N ( A ) 。

四个子空间还存在着如下的关系：

N(AT)+C(A)=Rm，C(A)+N(AT)=Rn N ( A T ) + C ( A ) = R m ， C ( A ) + N ( A T ) = R n

我们说 C(A)是N(AT) C ( A ) 是 N ( A T ) 在 Rm R m 上的正交补， C(AT) C ( A T ) 是 N(A) N ( A ) 在 Rn R n 上的正交补。

定义：设 V⊂Rn V ⊂ R n 是一个子空间， V V 在Rn R n 中的正交补定义为集合

{w∈Rn|vTw=0,∀v∈V} { w ∈ R n | v T w = 0 , ∀ v ∈ V }

子空间的性质

1. 若 A A 对称，即A=AT A = A T ，则 C(A)=C(AT) C ( A ) = C ( A T ) ，因此 C(A)⊥N(A) C ( A ) ⊥ N ( A ) 。

2. ATA A T A 为对称阵，且 N(A)=N(ATA)，C(AT)=C(ATA) N ( A ) = N ( A T A ) ， C ( A T ) = C ( A T A ) 。

   Ax=0⇒ATAx=0⇒N(A)⊆N(ATA) A x = 0 ⇒ A T A x = 0 ⇒ N ( A ) ⊆ N ( A T A )
   
   
   ATAx=0⇒xTATAx=0⇒Ax=0⇒N(ATA)⊆N(A) A T A x = 0 ⇒ x T A T A x = 0 ⇒ A x = 0 ⇒ N ( A T A ) ⊆ N ( A )
   
   
   ⇒N(A)=N(ATA) ⇒ N ( A ) = N ( A T A )

3. 若 Ax=b A x = b 有解，则 Ax=b A x = b 在 C(AT) C ( A T ) 中有唯一解。

   存在性：设 Ax=b A x = b 有解，则 b∈C(A) b ∈ C ( A ) 。又因为 C(A)=C(AAT) C ( A ) = C ( A A T ) ，因此 b∈C(AAT) b ∈ C ( A A T )
   

   ∴∃y∈Rm⇒AATy=b ∴ ∃ y ∈ R m ⇒ A A T y = b

   
   

   letxr=ATy⇒Axr=b∴xr∈C(AT) l e t x r = A T y ⇒ A x r = b ∴ x r ∈ C ( A T )

   
   唯一性（反证法）：若 x1r，x2r∈C(AT)，and Ax1r=b=Ax2r x r 1 ， x r 2 ∈ C ( A T ) ， a n d   A x r 1 = b = A x r 2
   

   ∴A(x1r−x2r)=0⇒x1r−x2r∈N(A) ∴ A ( x r 1 − x r 2 ) = 0 ⇒ x r 1 − x r 2 ∈ N ( A )

   
   

   ∵x1r，x2r∈C(AT)∴x1r，x2r∈C(AT)∩N(A)={0} ∵ x r 1 ， x r 2 ∈ C ( A T ) ∴ x r 1 ， x r 2 ∈ C ( A T ) ∩ N ( A ) = { 0 }

   
   

   ∴x1r=x2r ∴ x r 1 = x r 2

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