ISM 模型

ISM

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ISM背景简介

ISM 全称为 Interpretative Structural Modelling Method ，中文名为 解释结构模型法。是一种在系统工程领域常用的分析方法，它能够发现系统中的一般模式。

• 什么为系统结构？
    我们常用诸多因素来表征一个系统，而因素之间的逻辑关系就是一种系统结构。我们经常使用有向图模型来表征这种逻辑关系构成的结构。

• 有向图的简单介绍
    图的基本元素由点和边构成，其中边分为无向边和有向边；在上条中提到的有向图是由点和有向边构成的图。

  所以我们经常用有向图来表征系统结构，其中图中的点代表了系统中的不同元素，有向边代表了元素之间的逻辑关系。

• 邻接矩阵
    图的另一种等价表示就是的邻接矩阵表示。矩阵的维度为点的个数；矩阵的元素取值只有0和1，为对应两个点的边是否存在（对应无向图），或者边的指向（对应于有向图）。所以无向图的邻接矩阵是对称矩阵，而有向图的邻接矩阵并没有这样的性质。

• 邻接矩阵元素的运算法则
    邻接矩阵的元素运算为布尔运算：
  $$0+0=0,0+1=1,1+1=1$$$$1\ast 0=0,0\ast 1=0,1\ast 1=1$$

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ISM 模型准备

  首先我们需要将各个元素之间的关系转化成邻接矩阵的形式。

定义
$$a_{ij}=\{\begin{array}{ll}1& S_i对S_j有影响\\ 0& S_i对S_j无影响\end{array}$$
可以产生由因素集 $\{S_i\}$ 产生的邻接矩阵 $A$。

• $A^k$ 的含义
    邻接矩阵的幂次 $A^k$ 中的元素也为 $0$ 或者 $1$，其中若 $a_{ij}=1$,那么表示元素 $S_i$ 可以经过 $k$ 步到达 $S_j$。这也意味着一条长度为 $k$ 的路径存在。

• 可达矩阵
    若有 $(A+I{)}^{k-1}̸=(A+I{)}^k=(A+I{)}^{k+1}=M$ 成立，那么 $M$ 成为可达矩阵。表示从一个元素到另一个元素是否存在一条可达的路径。

接下来我们将通过对 $M$ 的讨论来进行 $ISM$ 模型核心的阐述。

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ISM 模型求解

• 可达集合 $R(S_i)$
    可达矩阵中要素 $S_i$对应的行中取值为 $1$ 的元素集合，代表要素 $S_i$ 能够到达的元素。

• 先行集合 $Q(S_i)$
    可达矩阵中要素 $S_i$对应的列中取值为 $1$ 的元素集合，代表能够到达要素 $S_i$ 的元素。

• 交集 $A(S_i)=R(S_i)\cap R(S_i)$

现在，我们得到了所有元素的 $R(S_i),Q(S_i),A(S_i)$ 可以绘制在一个表格中

	$R(S_i)$	$Q(S_i)$	$A(S_i)$
…	…	…	…
$S_i$
…	…	…	…

通过上述表格我们可以进行区域分解，分解出一个一个的子系统。

接下来就是层级分解。
层级分解的条件为 $A(S_i)=R(S_i)\cap R(S_i)=R(S_i)$
每一次将满足条件的元素 $S_i$ 取出，删去所有与元素 $S_i$ 有关的关系，重新得到剩下的关系表，再进行层级分解；直至不能分解为止。

最后剩下的元素可以作为影响系统最根本的原因。