10.Logistic Regression逻辑斯蒂回归

上一讲是关于线性回归，重点是求解w 的解析方案(通过pseudo-inverse 求解w)。
这一讲关注另一个很重要的方法，逻辑斯蒂回归(logistic regression)。

林轩田对逻辑斯蒂回归的解释思路和Andrew Ng 还是有明显区别的，都十分有助于我们的理解；但要深究其数学意义，还要自己多钻研。

1，逻辑斯蒂回归问题
有一组病人的数据，我们需要预测他们在一段时间后患上心脏病的“可能性”，就是我们要考虑的问题。
通过二值分类，我们仅仅能够预测病人是否会患上心脏病，不同于此的是，现在我们还关心患病的可能性，即 f(x) = P(+1|x)，取值范围是区间 [0,1]。

然而，我们能够获取的训练数据却与二值分类完全一样，x 是病人的基本属性，y 是+1(患心脏病)或 -1（没有患心脏病）。输入数据并没有告诉我们有关“概率” 的信息。

在二值分类中，我们通过w*x 得到一个"score" 后，通过取符号运算sign 来预测y 是+1 或 -1。而对于当前问题，我们如同能够将这个score 映射到[0,1] 区间，问题似乎就迎刃而解了。
逻辑斯蒂回归选择的映射函数是S型的sigmoid 函数。
sigmoid 函数： f(s) = 1 / (1 + exp(-s)), s 取值范围是整个实数域, f(x) 单调递增，0 <= f(x) <= 1。
于是，我们有：

2，逻辑斯蒂回归的优化方法

与其他线性模型的比较

对于上面的公式，如何定义Ein(w) 呢？

logistic regression 的目标是 f(x) = P(+1|x)：
当y = +1 时， P(y|x) = f(x);
当y = -1 时， P(y|x) = 1 - f(x).

在机器学习假设中，数据集D 是由f 产生的，我们可以按照这个思路，考虑f 和假设 h 生成训练数据D的概率：

训练数据的客观存在的，显然越有可能生成该数据集的假设越好。

通过一些列简单转换，我们得到最终的优化目标函数：

注意上图中"cross-entropy error" 的定义。

3，LR Error 的梯度

Ein(w) 的微分结果是：

想要上式等于零，或者sigmoid 项恒为0，这时要求数据时线性可分的（不能有噪音）。
否则，需要迭代优化。直观的优化方法：

4， 梯度下降法
梯度下降法是最经典、最常见的优化方法之一。

要寻找目标函数曲线的波谷，采用贪心法：想象一个小人站在半山腰，他朝哪个方向跨一步，可以使他距离谷底更近（位置更低），就朝这个方向前进。这个方向可以通过微分得到。
选择足够小的一段曲线，可以将这段看做直线段，那么有：

梯度下降的精髓：

之所以说最优的v 是与梯度相反的方向，想象一下：如果一条直线的斜率k>0，说明向右是上升的方向，应该向左走；反之，斜率k<0，向右走。

解决的方向问题，步幅也很重要。步子太小的话，速度太慢；过大的话，容易发生抖动，可能到不了谷底。
显然，距离谷底较远（位置较高）时，步幅大些比较好；接近谷底时，步幅小些比较好（以免跨过界）。距离谷底的远近可以通过梯度（斜率）的数值大小间接反映，接近谷底时，坡度会减小。
因此，我们希望步幅与梯度数值大小正相关。
原式子可以改写为：

最后，完整的Logistic Regression Algorithm: