变换(二维与三维,模型,视图,投影)——计算机图形学

要点速览

  • 缩放(Scale): [ x ′ y ′ ] = [ s x 0 0 s y ] [ x y ] \begin{bmatrix} {x}'\\ {y}' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x & 0\\ 0 & s_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} [xy]=[sx00sy][xy]

  • 反射(Reflection): [ x ′ y ′ ] = [ − 1 0 0 1 ] [ x y ] ( 关 于 y 轴 ) [ x ′ y ′ ] = [ 1 0 0 − 1 ] [ x y ] ( 关 于 x 轴 ) \begin{bmatrix} {x}'\\ {y}' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\quad(关于y轴) \quad\quad \begin{bmatrix} {x}'\\ {y}' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\quad(关于x轴) [xy]=[1001][xy](y)[xy]=[1001][xy](x)

  • 切变(Shear): [ x ′ y ′ ] = [ 1 a 0 1 ] [ x y ] ( x 方 向 上 的 切 变 ) [ x ′ y ′ ] = [ 1 0 a 1 ] [ x y ] ( y 方 向 上 的 切 变 ) \begin{bmatrix} {x}'\\ {y}' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & a\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\quad(x方向上的切变) \quad\quad \begin{bmatrix} {x}'\\ {y}' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ a & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\quad(y方向上的切变) [xy]=[10a1][xy](x)[xy]=[1a01][xy](y)

  • 旋转(Rotate): R θ = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] \mathbf{R}_{\theta}= \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} Rθ=[cosθsinθsinθcosθ]

  • 平移(Translation): ( x ′ y ′ w ′ ) = ( 1 0 t x 0 1 t y 0 0 1 ) ⋅ ( x y 1 ) \begin{pmatrix} {x}'\\ {y}'\\ {w}' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1 \end{pmatrix} xyw=100010txty1xy1

  • 齐次坐标:2D 点: ( x , y , 1 ) T (x,y,1)^{T} (x,y,1)T,2D 向量: ( x , y , 0 ) T (x,y,0)^{T} (x,y,0)T w ≠ 0 w \neq 0 w=0 时每一项都除以 w w w,就是 2D 点。

  • 仿射变换(Affine Transformation)= (先)线性变换 + (再)平移: ( x ′ y ′ 1 ) = ( a b t x c d t y 0 0 1 ) ⋅ ( x y 1 ) \begin{pmatrix} {x}'\\ {y}'\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & t_x \\ c & d & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1 \end{pmatrix} xy1=ac0bd0txty1xy1

  • 变换的顺序不能调换,从右往左写(左乘)。

  • 视图变换(View / Camera transformation):Camera is at the origin, up at Y Y Y, look at − Z -Z Z,让物体跟着相机走。

    • 相机的位置 e ⃗ \vec{e} e ,观察方向 g ^ \hat{g} g^,向上方向 t ^ \hat{t} t^ (假定垂直于观察方向)
    • M v i e w = R v i e w T v i e w = [ x g ^ × t ^ y g ^ × t ^ z g ^ × t ^ 0 x t y t z t 0 x − g y − g z − g 0 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 − x e 0 1 0 − y e 0 0 1 − z e 0 0 0 1 ] M_{view}=R_{view}T_{view} =\begin{bmatrix} x_{\hat{g} \times \hat{t}} & y_{\hat{g} \times \hat{t}} & z_{\hat{g} \times \hat{t}} & 0 \\ x_{t} & y_{t} & z_{t} & 0 \\ x_{-g} & y_{-g} & z_{-g} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_{e} \\ 0 & 1 & 0 & -y_{e} \\ 0 & 0 & 1 & -z_{e} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Mview=RviewTview=xg^×t^xtxg0yg^×t^ytyg0zg^×t^ztzg00001100001000010xeyeze1
  • 正交投影(Orthographic projection):长方体 [ l , r ] × [ b , t ] × [ f , n ] \left [ l,r \right ]\times \left [ b,t \right ]\times \left [ f,n \right ] [l,r]×[b,t]×[f,n] map(映射) 到 标准视体 [ − 1 , 1 ] 3 \left [ -1,1 \right ]^{3} [1,1]3 (注意: n > f n > f n>f),先平移再缩放

    • M o r t h o = [ 2 r − l 0 0 0 0 2 t − b 0 0 0 0 2 n − f 0 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 − r + l 2 0 1 0 − t + b 2 0 0 1 − n + f 2 0 0 0 1 ] = [ 2 r − l 0 0 l + r l − r 0 2 t − b 0 b + t b − t 0 0 2 n − f f + n f − n 0 0 0 1 ] M_{ortho}=\begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & \frac{l + r}{l -r}\\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & \frac{b + t}{b -t}\\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & \frac{f + n}{f-n}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Mortho=rl20000tb20000nf2000011000010000102r+l2t+b2n+f1=rl20000tb20000nf20lrl+rbtb+tfnf+n1
  • 透视投影(Perspective projection):近大远小,平行线不再平行。

    • M p e r s p = M o r t h o M p e r s p → o r t h o = M o r t h o ( n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 ) = ( 2 n r − l 0 l + r l − r 0 0 2 n t − b b + t b − t 0 0 0 n + f n − f 2 f n f − n 0 0 1 0 ) M_{persp}=M_{ortho} M_{persp \rightarrow ortho}=M_{ortho} \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{l+r}{l-r} & 0\\ 0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{b+t}{b-t} & 0\\ 0 & 0 & \frac{n+f}{n-f} & \frac{2fn}{f-n}\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} Mpersp=MorthoMpersportho=Morthon0000n0000n+f100nf0=rl2n0000tb2n00lrl+rbtb+tnfn+f100fn2fn0

文章目录

  • 要点速览
  • 2D 变换
    • 缩放(Scale)
    • 反射(Reflection)
    • 切变(Shear)
    • 旋转(Rotate)
  • 齐次坐标(Homogenous Coordinates)
    • 齐次坐标表示法
    • 平移(Translation)
    • 仿射变换(Affine Transformation)
  • 变换与顺序
  • 3D 变换
    • 3D 点、向量的齐次坐标表示
    • 三维空间中的旋转
      • 罗德里格斯旋转公式(Rodrigues’ Rotation Formula)
  • Viewing transformation
    • 视图变换(View / Camera transformation)
    • 投影变换(Projection transformation)
      • 正交投影(Orthographic projection)
      • 透视投影(Perspective projection)

2D 变换

缩放(Scale)

[ x ′ y ′ ] = [ s x 0 0 s y ] [ x y ] \begin{bmatrix} {x}'\\ {y}' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x & 0\\ 0 & s_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} [xy]=[sx00sy][xy]

【例】对应下图: [ x ′ y ′ ] = [ 0.5 0 0 1.5 ] [ x y ] \begin{bmatrix} {x}'\\ {y}' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.5 & 0\\ 0 & 1.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} [xy]=[0.5001.5][xy]
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反射(Reflection)

[ x ′ y ′ ] = [ − 1 0 0 1 ] [ x y ] ( 关 于 y 轴 ) \begin{bmatrix} {x}'\\ {y}' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\quad(关于y轴) [xy]=[1001][xy](y)

【例】关于 y y y
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[ x ′ y ′ ] = [ 1 0 0 − 1 ] [ x y ] ( 关 于 x 轴 ) \begin{bmatrix} {x}'\\ {y}' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\quad(关于x轴) [xy]=[1001][xy](x)

【例】关于 x x x
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如果对角线的两个元素都是 − 1 -1 1(即 [ − 1 0 0 − 1 ] \begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix} [1001]),那就相当于是一个(绕原点) π \pi π 弧度的旋转。这种旋转也可以称为“通过原点的反射”。

切变(Shear)

[ x ′ y ′ ] = [ 1 a 0 1 ] [ x y ] ( x 方 向 上 的 切 变 ) \begin{bmatrix} {x}'\\ {y}' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & a\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\quad(x方向上的切变) [xy]=[10a1][xy](x)

【例】 x x x 方向上的切变
变换(二维与三维,模型,视图,投影)——计算机图形学_第4张图片

[ x ′ y ′ ] = [ 1 0 a 1 ] [ x y ] ( y 方 向 上 的 切 变 ) \begin{bmatrix} {x}'\\ {y}' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ a & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\quad(y方向上的切变) [xy]=[1a01][xy](y)

【例】 y y y 方向上的切变( a = 1 a=1 a=1
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旋转(Rotate)

* 注意:默认情况下指的是原点旋转

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变换(二维与三维,模型,视图,投影)——计算机图形学_第7张图片

根据旋转 θ \theta θ 角的矩阵 R θ \mathbf{R}_{\theta} Rθ,很容易推导出旋转 − θ -\theta θ 角的矩阵 R − θ \mathbf{R}_{-\theta} Rθ,它等于 R θ \mathbf{R}_{\theta} Rθ 的转置:

R − θ = ( cos ⁡ ( − θ ) − sin ⁡ ( − θ ) sin ⁡ ( − θ ) cos ⁡ ( − θ ) ) = ( cos ⁡ θ sin ⁡ θ − sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) = R θ T \mathbf{R}_{-\theta} =\begin{pmatrix} \cos (-\theta) & -\sin (-\theta) \\ \sin (-\theta) & \cos (-\theta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} =\mathbf{R}_{\theta}^{T} Rθ=(cos(θ)sin(θ)sin(θ)cos(θ))=(cosθsinθsinθcosθ)=RθT

又由定义,旋转 − θ -\theta θ 角等于旋转 θ \theta θ 角的逆: R − θ = R θ − 1 \mathbf{R}_{-\theta}=\mathbf{R}_{\theta}^{-1} Rθ=Rθ1

因此我们得到这样一个结论:旋转矩阵的逆就等于旋转矩阵的转置,即 R θ − 1 = R θ T \mathbf{R}_{\theta}^{-1}=\mathbf{R}_{\theta}^{T} Rθ1=RθT

齐次坐标(Homogenous Coordinates)

齐次坐标表示法

将原有的向量添加一维:

  • 2D 点表示为: ( x , y , 1 ) T (x,y,1)^{T} (x,y,1)T
  • 2D 向量表示为: ( x , y , 0 ) T (x,y,0)^{T} (x,y,0)T

在齐次坐标下,当 w ≠ 0 w\neq 0 w=0 时, ( x y w ) \begin{pmatrix} x\\ y\\ w \end{pmatrix} xyw 就表示 2D 点 ( x / w y / w 1 ) \begin{pmatrix} x/w\\ y/w\\ 1 \end{pmatrix} x/wy/w1(即每一项都除以 w w w)。

平移(Translation)

此时,平移操作可以表示为:
( x ′ y ′ w ′ ) = ( 1 0 t x 0 1 t y 0 0 1 ) ⋅ ( x y 1 ) = ( x + t x y + t y 1 ) \begin{pmatrix} {x}'\\ {y}'\\ {w}' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+t_x\\ y+t_y\\ 1 \end{pmatrix} xyw=100010txty1xy1=x+txy+ty1

仿射变换(Affine Transformation)

仿射变换 = 线性变换 + 平移

用齐次坐标表示为:
( x ′ y ′ 1 ) = ( a b t x c d t y 0 0 1 ) ⋅ ( x y 1 ) \begin{pmatrix} {x}'\\ {y}'\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & t_x \\ c & d & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1 \end{pmatrix} xy1=ac0bd0txty1xy1

上面的式子相当于 ( x ′ y ′ ) = ( a b c d ) ⋅ ( x y ) + ( t x t y ) \begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} t_{x} \\ t_{y} \end{pmatrix} (xy)=(acbd)(xy)+(txty),所以顺序是先线性变换、再平移。

【例】
缩放(Scale): S ( s x , s y ) = ( s x 0 0 0 s y 0 0 0 1 ) \mathbf{S}\left ( s_x,s_y \right )= \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} S(sx,sy)=sx000sy0001

旋转(Rotation): R ( α ) = ( cos ⁡ α − sin ⁡ α 0 sin ⁡ α cos ⁡ α 0 0 0 1 ) \mathbf{R}\left ( \alpha \right )= \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} R(α)=cosαsinα0sinαcosα0001

平移(Translation): T ( t x , t y ) = ( 1 0 t x 0 1 t y 0 0 1 ) \mathbf{T}\left ( t_x,t_y \right )= \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} T(tx,ty)=100010txty1

变换与顺序

  • 各种变换之间的顺序是不能调换的,例如先旋转再平移 ≠ \neq = 先平移再旋转。因为矩阵乘法没有交换律
  • 但是矩阵乘法有结合律,所以多次变换的矩阵可以合成为一个矩阵,这一个矩阵就代表了所有的变换。
    • 例如 A n ⋯ A 2 ⋅ A 1 \mathbf{A}_n \cdots \mathbf{A}_2\cdot \mathbf{A}_1 AnA2A1 最终可以写成一个 A \mathbf{A} A,代表所有的变换。
      A n ( ⋯ A 2 ( A 1 ( x ) ) ) = A n ⋯ A 2 ⋅ A 1 ⋅ ( x y 1 ) = A ⋅ ( x y 1 ) A_n\left ( \cdots A_2\left ( A_1\left ( \mathbf{x} \right ) \right ) \right ) \\ =\mathbf{A}_n \cdots \mathbf{A}_2\cdot \mathbf{A}_1 \cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1 \\ \end{pmatrix}\\ = \mathbf{A}\cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1 \\ \end{pmatrix} An(A2(A1(x)))=AnA2A1xy1=Axy1
  • 对某一向量顺次应用的一系列操作,都要从右往左地写在向量左边(左乘)。
    • 例如上面的式子,依次使用 A 1 , A 2 , ⋯   , A n A_1,A_2,\cdots,A_n A1,A2,,An,矩阵相乘时为 A n ⋯ A 2 ⋅ A 1 \mathbf{A}_n \cdots \mathbf{A}_2\cdot \mathbf{A}_1 AnA2A1
  • 一个矩阵当然也可以分解成若干个矩阵顺次相乘。分解可能有很多种结果,所有分解最终效果相同。

【例】绕某一点 c \mathbf{c} c(非原点)旋转 α \alpha α 角的操作,可以分解为如下三步:

  1. 将点 c \mathbf{c} c 平移至原点
  2. 旋转 α \alpha α
  3. 平移回 c \mathbf{c} c

写成矩阵乘法的形式: T ( c ) ⋅ R ( α ) ⋅ T ( − c ) \mathbf{T}(\mathbf{c})\cdot \mathbf{R}(\alpha )\cdot \mathbf{T}(-\mathbf{c}) T(c)R(α)T(c) (注意是从右往左乘)
变换(二维与三维,模型,视图,投影)——计算机图形学_第8张图片

【例】一个切变可以被分解成旋转-缩放-旋转三步。

  • 推导过程:

[ 1 1 0 1 ] = R 2 [ σ 1 0 0 σ 2 ] R 1 = [ 0.8507 − 0.5257 0.5257 0.8507 ] [ 1.618 0 0 0.618 ] [ 0.5257 0.8507 − 0.8507 0.5257 ] = rotate ( 31. 7 ∘ )  scale ( 1.618 , 0.618 )  rotate ( − 58. 3 ∘ ) \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \\=\mathbf{R}_{2}\begin{bmatrix} \sigma_{1} & 0 \\ 0 & \sigma_{2} \end{bmatrix} \mathbf{R}_{1} \\ =\begin{bmatrix} 0.8507 & -0.5257 \\ 0.5257 & 0.8507 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1.618 & 0 \\ 0 & 0.618 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0.5257 & 0.8507 \\ -0.8507 & 0.5257 \end{bmatrix} \\ =\text{rotate}\left(31.7^{\circ}\right) \text { scale}(1.618,0.618) \text { rotate}\left(-58.3^{\circ}\right) [1011]=R2[σ100σ2]R1=[0.85070.52570.52570.8507][1.618000.618][0.52570.85070.85070.5257]=rotate(31.7) scale(1.618,0.618) rotate(58.3)

  • 图形演示:

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3D 变换

3D 点、向量的齐次坐标表示

3D 空间中的点和向量可以表示为:

  • 3D 点表示为: ( x , y , z , 1 ) T (x,y,z,1)^{T} (x,y,z,1)T
  • 3D 向量表示为: ( x , y , z , 0 ) T (x,y,z,0)^{T} (x,y,z,0)T

w ≠ 0 w\neq 0 w=0 时, ( x y z w ) \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ w \end{pmatrix} xyzw 就表示 3D 点 ( x / w y / w z / w 1 ) \begin{pmatrix} x/w\\ y/w\\ z/w\\ 1 \end{pmatrix} x/wy/wz/w1

三维空间中的旋转

转,不变。用代数余子式的方法去理解下面的式子:

x x x 轴旋转: R x ( α ) = ( 1 0 0 0 0 cos ⁡ α − sin ⁡ α 0 0 sin ⁡ α cos ⁡ α 0 0 0 0 1 ) \mathbf{R}_{x}(\alpha) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} Rx(α)=10000cosαsinα00sinαcosα00001

y y y 轴旋转: R y ( α ) = ( cos ⁡ α 0 sin ⁡ α 0 0 1 0 0 − sin ⁡ α 0 cos ⁡ α 0 0 0 0 1 ) \mathbf{R}_{y}(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos \alpha & 0 & \sin \alpha & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin \alpha & 0 & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} Ry(α)=cosα0sinα00100sinα0cosα00001      (注意负号的位置)

z z z 轴旋转: R z ( α ) = ( cos ⁡ α − sin ⁡ α 0 0 sin ⁡ α cos ⁡ α 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) \mathbf{R}_{z}(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} Rz(α)=cosαsinα00sinαcosα0000100001

罗德里格斯旋转公式(Rodrigues’ Rotation Formula)

绕过原点的 n \mathbf{n} n 轴,旋转 α \alpha α 角度:(其中 I \mathbf{I} I 是单位阵)

R ( n , α ) = cos ⁡ ( α ) I + ( 1 − cos ⁡ ( α ) ) n n T + sin ⁡ ( α ) ( 0 − n z n y n z 0 − n x − n y n x 0 ) ⏟ N \mathbf{R}(\mathbf{n}, \alpha)=\cos (\alpha) \mathbf{I}+(1-\cos (\alpha)) \mathbf{n n}^{T}+\sin (\alpha) \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & -n_{z} & n_{y} \\ n_{z} & 0 & -n_{x} \\ -n_{y} & n_{x} & 0 \end{pmatrix}}_{\mathbf{N}} R(n,α)=cos(α)I+(1cos(α))nnT+sin(α)N 0nznynz0nxnynx0

Viewing transformation

MVP:

  • 模型变换(model transformation)—— Find a good place and arrange people
  • 视图变换(view transformation)—— Find a good “angle” to put the camera
  • 投影变换(projection transformation)—— Cheese!

视图变换(View / Camera transformation)

定义相机:

  • 相机的位置 e ⃗ \vec{e} e
  • 观察方向 g ^ \hat{g} g^
  • 向上方向 t ^ \hat{t} t^ (假定垂直于观察方向)

容易得到相机的右方向是 g ^ × t ^ \hat{g} \times \hat{t} g^×t^

把相机固定到原点,并且向上方向为 y y y 轴方向,看向 − z -z z 轴的方向(观察方向)。让物体跟着相机走。

变换(二维与三维,模型,视图,投影)——计算机图形学_第10张图片

使用矩阵 M v i e w M_{view} Mview 来完成这一变换:

  • M v i e w = R v i e w T v i e w M_{view}=R_{view}T_{view} Mview=RviewTview
  • e ⃗ \vec{e} e 平移到原点: T v i e w = [ 1 0 0 − x e 0 1 0 − y e 0 0 1 − z e 0 0 0 1 ] T_{view} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_{e} \\ 0 & 1 & 0 & -y_{e} \\ 0 & 0 & 1 & -z_{e} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Tview=100001000010xeyeze1
  • 旋转: g ^ → − Z \hat{g} \rightarrow -Z g^Z 轴, t ^ → Y \hat{t} \rightarrow Y t^Y 轴, ( g ^ × t ^ ) → X \left ( \hat{g} \times \hat{t} \right )\rightarrow X (g^×t^)X
    • 考虑其逆过程: Z Z Z → − g ^ \rightarrow -\hat{g} g^ Y Y Y → t ^ \rightarrow \hat{t} t^ X X X → ( g ^ × t ^ ) \rightarrow \left ( \hat{g} \times \hat{t} \right ) (g^×t^)
    • 由于旋转矩阵的逆等于旋转矩阵的转置,可以得到:
      R v i e w − 1 = [ x g ^ × t ^ x t x − g 0 y g ^ × t ^ y t y − g 0 z g ^ × t ^ z t z − g 0 0 0 0 1 ] ⇒ R v i e w = [ x g ^ × t ^ y g ^ × t ^ z g ^ × t ^ 0 x t y t z t 0 x − g y − g z − g 0 0 0 0 1 ] R_{view}^{-1}=\begin{bmatrix} x_{\hat{g} \times \hat{t}} & x_{t} & x_{-g} & 0 \\ y_{\hat{g} \times \hat{t}} & y_{t} & y_{-g} & 0 \\ z_{\hat{g} \times \hat{t}} & z_{t} & z_{-g} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad R_{view}=\begin{bmatrix} x_{\hat{g} \times \hat{t}} & y_{\hat{g} \times \hat{t}} & z_{\hat{g} \times \hat{t}} & 0 \\ x_{t} & y_{t} & z_{t} & 0 \\ x_{-g} & y_{-g} & z_{-g} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Rview1=xg^×t^yg^×t^zg^×t^0xtytzt0xgygzg00001Rview=xg^×t^xtxg0yg^×t^ytyg0zg^×t^ztzg00001

投影变换(Projection transformation)

正交投影(Orthographic projection)

简单的理解正交投影(直观理解):

  • 相机在原点, looking at − Z -Z Z, up at Y Y Y
  • 直接丢弃 Z Z Z 坐标
  • 将生成的矩形平移并缩放到 [ − 1 , 1 ] 2 \left [ -1,1 \right ]^{2} [1,1]2

实际上的做法:
把一个长方体 [ l , r ] × [ b , t ] × [ f , n ] \left [ l,r \right ]\times \left [ b,t \right ]\times \left [ f,n \right ] [l,r]×[b,t]×[f,n] map(映射) 到 标准视体 [ − 1 , 1 ] 3 \left [ -1,1 \right ]^{3} [1,1]3

  • 将长方体中心平移到原点 Translate (center to origin) first
  • 缩放至标准大小 then scale (length/width/height to 2 2 2)

M o r t h o = [ 2 r − l 0 0 0 0 2 t − b 0 0 0 0 2 n − f 0 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 − r + l 2 0 1 0 − t + b 2 0 0 1 − n + f 2 0 0 0 1 ] = [ 2 r − l 0 0 l + r l − r 0 2 t − b 0 b + t b − t 0 0 2 n − f f + n f − n 0 0 0 1 ] M_{ortho}=\begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & \frac{l + r}{l -r}\\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & \frac{b + t}{b -t}\\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & \frac{f + n}{f-n}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Mortho=rl20000tb20000nf2000011000010000102r+l2t+b2n+f1=rl20000tb20000nf20lrl+rbtb+tfnf+n1

注意: n > f n > f n>f (Looking at / along -Z is making near and far not intuitive(不符合直觉))
变换(二维与三维,模型,视图,投影)——计算机图形学_第11张图片

透视投影(Perspective projection)

  • 更常用,更符合人眼的直觉 Most common in Computer Graphics, art, visual system
  • 近大远小,远处的物体看起来小 Further objects are smaller
  • 平行线不再平行。平行线在远处看起来似乎会“相交”于一点 Parallel lines not parallel; converge to single point

如何做透视投影: M p e r s p = M o r t h o M p e r s p → o r t h o M_{persp}=M_{ortho} M_{persp \rightarrow ortho} Mpersp=MorthoMpersportho

  • 先把视锥体挤压成长方体 M p e r s p → o r t h o M_{persp \rightarrow ortho} Mpersportho First “squish” the frustum into a cuboid (n -> n, f -> f)
  • 做正交投影 M o r t h o M_{ortho} Mortho Do orthographic projection

变换(二维与三维,模型,视图,投影)——计算机图形学_第12张图片

求解 M p e r s p → o r t h o M_{persp \rightarrow ortho} Mpersportho 的中心思想: 寻找变换后 点 ( x ’ , y ’ , z ’ ) (x’, y’, z’) (x,y,z) 和变换前 点 ( x , y , z ) (x, y, z) (x,y,z) 的关系

在挤压的过程中,

  • 近平面上点坐标不会变 Any point on the near plane will not change
  • 远平面上点 z z z 坐标不会变 Any point’s z on the far plane will not change
  • 远平面中心点不会变(挤压之后它还是中心)

求解出来得: M p e r s p → o r t h o = ( n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 ) M_{persp \rightarrow ortho}=\begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} Mpersportho=n0000n0000n+f100nf0

综上: M p e r s p = M o r t h o M p e r s p → o r t h o = M o r t h o ( n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 ) = ( 2 n r − l 0 l + r l − r 0 0 2 n t − b b + t b − t 0 0 0 n + f n − f 2 f n f − n 0 0 1 0 ) \displaystyle M_{persp} \\ =M_{ortho} M_{persp \rightarrow ortho} \\ =M_{ortho} \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} \frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{l+r}{l-r} & 0\\ 0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{b+t}{b-t} & 0\\ 0 & 0 & \frac{n+f}{n-f} & \frac{2fn}{f-n}\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} Mpersp=MorthoMpersportho=Morthon0000n0000n+f100nf0=rl2n0000tb2n00lrl+rbtb+tnfn+f100fn2fn0

变换(二维与三维,模型,视图,投影)——计算机图形学_第13张图片

变换(二维与三维,模型,视图,投影)——计算机图形学_第14张图片


参考:
Steve Marschner and Peter Shirley. Fundamentals of Computer Graphics. 第四版.
GAMES101. https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744?p=3.
变换(二维与三维)课件. https://sites.cs.ucsb.edu/~lingqi/teaching/resources/GAMES101_Lecture_03.pdf.
变换(模型、视图、投影)课件. https://sites.cs.ucsb.edu/~lingqi/teaching/resources/GAMES101_Lecture_04.pdf.

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