概率统计Python计算：单个正态总体均值单侧假设的Z检验

对正态总体参数的单侧假设检验，可以用如下的p值法进行。设显著水平为$\alpha$，考虑假设$H_0$的右侧检验。首先，注意到检验统计量的分布对应显著水平$\alpha$的右分位点$b$，实际上就是其残存函数$S(x)$（$=1-F(x)$）在该点处的函数值$S(b)$恰为$\alpha$，即$S(a)=\alpha$。我们知道在假设$H_0$的右侧检验中，$H_0$的拒绝域为$[b,+\infty )$。若检验统计量观测值$\zeta$落在拒绝域内，则必有$p=S(\zeta )<S(a)=\alpha$。而若检验统计量观测值$\gamma$落在非拒绝域内，则应有$p=S(\gamma )>S(a)=\alpha$，如下图所示。

相仿地，对假设$H_0$的左侧检验而言，设检验统计量的分布对应显著水平$\alpha$的右侧分位点为$a$，则分布函数$F(a)=\alpha$。若检验统计量观测值$\gamma$满足$p=F(\gamma )>F(a)=\alpha$，则$\gamma$落在$H_0$的非拒绝域内，而若检验统计量观测值$\zeta$满足$p=F(\zeta )<F(a)=\alpha$，则$\zeta$落在$H_0$的拒绝域内，如下图所示。

已知正态总体方差${\sigma }^2$的情况下，对总体均值$\mu$作显著水平为$\alpha$的假设检验，采用Z检验法。单侧检验的计算步骤为

1.构造检验统计量观测值$Z=\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$；
2.计算对应于$Z$的累积分布函数值$p=F(Z)$（左侧检验）或残存函数值$p=S(Z)$（右侧检验）（详见博文《连续型随机变量分布（norm）》）;
3.比较$p\ge \alpha$结果为真，则接受假设，否则拒绝假设。
将此算法编写如下计算总体均值单侧假设检验的Python函数。

from scipy.stats import norm    #导入norm
def ztestL(z, alpha):           #左侧检验函数
    p=norm.cdf(z)               #F(z)
    return p>=alpha             #检验
def ztestR(z, alpha):           #右侧检验函数
    p=norm.sf(z)                #S(z)
    return p>=alpha             #检验

程序的第2~4行定义Z方法左侧检验函数ztestL，第5~7行定义右侧检验函数ztestR。两个函数函数的参数z和alpha分别表示检测统计量观测值$\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$和显著水平$\alpha$。返回的布尔值或为True，则接受假设$H_0:\mu \ge {\mu }_0$（或$\mu \le {\mu }_0$），否则拒绝$H_0$。
例1 公司从生产商购买牛奶。公司怀疑生产商在牛奶中掺水以牟利。通过测定牛奶的冰点，可以检验出牛奶是否掺水。天然牛奶的冰点温度近似服从$N(-0.545,0.008^2)$，牛奶掺水可使冰点温度升高而接近于水的冰点温度（$0^{\circ }$C）。测得生产商提交的5批牛奶的冰点温度，其均值为$\overline{x}=-0.535^{\circ }$C，问是否可以认为生产商在牛奶中掺了水（$\alpha =0.05$）？
解： 按题意，需对假设$H_0:\mu \le {\mu }_0=-0.545(H_1:\mu >{\mu }_0)$，即牛奶未掺水进行右侧检验。下列代码完成本例计算。

import numpy as np                              #导入numpy
xmean=-0.535                                    #样本均值
s0=0.008                                        #总体均方差
mu0=-0.545                                      #总体均值假设值
n=5                                             #样本容量
alpha=0.05                                      #显著水平
z=(xmean-mu0)/(s0/np.sqrt(n))                   #检验统计量
accept=ztestR(z, alpha)                         #右侧检验
print('mu<=%.3f is %s.'%(mu0, accept))

第2~6行设置各项数据。第7行计算检验统计量观测值$\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$，第8行调用函数ztestR对假设$H_0:\mu \le {\mu }_0=-0.545$作右侧检验。运行程序，输出

mu<=-0.545 is False.

表示拒绝假设$H_0:\mu \le {\mu }_0=-0.545$，即拒绝假设：牛奶未掺水。
例2 要求一种元件平均使用寿命不得低于1000h。生产者从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950h。已知该种元件寿命服从标准差$\sigma =100$h的正态分布。试在显著水平$\alpha =0.05$下判断这批元件是否合格。
解： 按题意，需要对假设$H_0:\mu \ge {\mu }_0=1000$，即寿命不低于1000小时进行左侧检验。下列代码完成本例计算。

import numpy as np
xmean=950
sigma=100
mu0=1000
n=25
alpha=0.05
z=(xmean-mu0)/(s0/np.sqrt(n))
accept=ztestL(z, alpha)
print('mu>=%d is %s.'%(mu0, accept))

本例计算的是对假设$H_0:\mu \ge {\mu }_0=1000$的左侧检验，故第8行调用函数ztestL执行计算。运行程序，输出

mu>=1000 is False.

即拒绝假设$H_0:\mu \ge {\mu }_0=1000$，认为本批次产品不合格。
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