矩阵连乘优化

矩阵乘法次数的计算：

以两个矩阵相乘为例，A1xA2，A1和A2为两个矩阵，假设A1的行列数是pxq，A2的行列数是qxr。那么对于A1xA2而言，我们需要分别执行pxr次对应A1的行元素乘以A2的列元素，根据线性代数知识，可以得到一共需要执行pxqxr次乘法。

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对于两个矩阵相乘，一旦矩阵的大小确定下来了，那么所需执行的乘法次数就确定下来了。那么对于两个以上的矩阵呢？是不是也是这样呢。实际上，对于多个矩阵相乘，乘法执行的次数与“划分”有关。例如：

 以矩阵链为例，假设三个矩阵的规模分别为10X100，100X5和5X50。

 ①以((A1*A2)*A3)方式划分，乘法执行次数为：10*100*5+10*5*50=5000+2500=7500次

 ②以(A1*(A2*A3))方式划分，乘法执行次数为：100*5*50+10*100*50=25000+50000=75000次

 我们可以发现，对于同样的矩阵链相乘而言，由于采用了不同的划分，乘法次数相差10倍。

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####矩阵乘法次数的计算是看矩阵乘积结果中每个元素运算的次数之和。

• A1×A2的乘积结果为矩阵B，B的大小为10×5，总共有50个元素，矩阵中的每个元素需要的乘法次数是100次，这是因为结果中的每个元素都需要100次的乘法运算，（以B11为例）所以A1×A2总的乘法次数等于10×5×100：
  $$B_{11}=\sum _{i=1}^{100}A{1}_{1,i}\times A{2}_{i,1}$$