数学建模（NO.15聚类模型）

一.应用

所谓的聚类，就是将样本划分为由类似的对象组成的多个类的过程。聚类后，我们可以更加
准确的在每个类中单独使用统计模型进行估计、分析或预测；也可以探究不同类之间的相关性和主要差异。

聚类和上一讲分类的区别：分类是已知类别的，聚类未知

二.K-means聚类算法

1.算法流程

一、指定需要划分的簇[cù]的个数K值（类的个数）;
二、随机地选择K个数据对象作为初始的聚类中心（不一定要是我们的样本点）;
三、计算其余的各个数据对象到这K个初始聚类中心的距离，把数据对象划归到距离它最近的那个中心所处在的簇类中;
四、调整新类并且重新计算出新类的中心;
五、循环步骤三和四，看中心是否收敛（不变），如果收敛或达到迭代次数则停止循环;
六、结束

2.图解K-means算法

3.算法流程图

4.一些讨论

（1）聚类的个数K值怎么定？
答：分几类主要取决于个人的经验与感觉，通常的做法是多尝试几个K值，看分成几类的结果更好解释，更符合分析目的等。
（2）数据的量纲不一致怎么办？
答：如果数据的量纲不一样，那么算距离时就没有意义。例如：如果X1单位是米，X2单位是吨，用距离公式计算就会出现“米的平方”加上“吨的平方”开平方，最后算出的东西没有数学意义，这就有问题了。

得到的就是去除量纲以后的数据，然后选择以后的数据进行

5.算法的评价

优点：
（1）算法简单、快速。
（2）对处理大数据集，该算法是相对高效率的。
缺点：
（1）要求用户必须事先给出要生成的簇的数目K。 （2）对初值敏感。
（3）对于孤立点数据敏感。

K‐means++算法可解决2和3这两个缺点。

三.K-means++算法

1.算法基础

k-means++算法选择初始聚类中心的基本原则是：初始的聚类中心之间的相互距离要尽可能的远。
算法描述如下：（只对K-means算法“初始化K个聚类中心” 这一步进行了优化）
步骤一：随机选取一个样本作为第一个聚类中心；
步骤二：计算每个样本与当前已有聚类中心的最短距离（即与最近一个聚类中心的距离），这个值越大，表示被选取作为聚类中心的概率较大；最后，用轮盘法（依据概率大小来进行抽选）选出下一个聚类中心；
步骤三：重复步骤二，直到选出K个聚类中心。选出初始点后，就继续使用标准的K-means算法了。

2. SPSS操作

得到的数据

四.系统（层次）聚类

1.概念

系统聚类的合并算法通过计算两类数据点间的距离，对最为接近的两类数据点进行组合，并反复迭代这一过程，直到将所有数据点合成一类，并生成聚类谱系图。

2. 算法流程

系统（层次）聚类的算法流程：
一、将每个对象看作一类，计算两两之间的最小距离；
二、将距离最小的两个类合并成一个新类；
三、重新计算新类与所有类之间的距离；
四、重复二三两步，直到所有类最后合并成一类；
五、结束

3.Spss软件操作

聚类谱系图（树状图）

3.用图形估计聚类的数量

肘部法则（Elbow Method）：通过图形大致的估计出最优的聚类数量。

聚合系数折线图
画图前先对数据进行处理

聚合系数折线图的画法

确定K后保存聚类结果并画图

五.DBSCAN算法

1.基本说明

DBSCAN(Density-based spatial clustering of applications
with noise)是一种基于密度的聚类方法
聚类前不需要预先指定聚类的个数，生成的簇的个数不定（和数据有关）。
该算法利用基于密度的聚类的概念，即要求聚类空间中的一定区域内所包含对象（点或其他空间对象）的数目不小于某一给定阈值。
该方法能在具有噪声的空间数据库中发现任意形状的簇，可将密度足够大的相邻区域连接，能有效处理异常数据

2.数据点分类

DBSCAN算法将数据点分为三类：
• 核心点：在半径Eps内含有不少于MinPts数目的点
• 边界点：在半径Eps内点的数量小于MinPts，但是落在核心
点的邻域内
• 噪音点：既不是核心点也不是边界点的点

3.DBSCDN可视化

可视化

4.伪代码（维基百科）

DBSCAN(D, eps, MinPts) {
C = 0
for each point P in dataset D {
if P is visited
continue next point
mark P as visited
NeighborPts = regionQuery(P, eps)
if sizeof(NeighborPts) < MinPts
mark P as NOISE
else {
C = next cluster
expandCluster(P, NeighborPts, C, eps, MinPts)
} } }
expandCluster(P, NeighborPts, C, eps, MinPts) {
add P to cluster C
for each point P' in NeighborPts { 
if P' is not visited {
mark P' as visited
NeighborPts' = regionQuery(P', eps)
if sizeof(NeighborPts') >= MinPts
NeighborPts = NeighborPts joined with NeighborPts'
}
if P' is not yet member of any cluster
add P' to cluster C
} }
regionQuery(P, eps)
return all points within P's eps-neighborhood (including P)

5.Matlab代码

main.m

clc;
clear;
close all;

%% Load Data

load mydata;
%% Run DBSCAN Clustering Algorithm

epsilon=0.5;
MinPts=10;
IDX=DBSCAN(X,epsilon,MinPts);
%% Plot Results
% 如果只要两个指标的话就可以画图啦
% PlotClusterinResult(X, IDX);
% title(['DBSCAN Clustering (\epsilon = ' num2str(epsilon) ', MinPts = ' num2str(MinPts) ')']);

DBSCAN.m

function [IDX, isnoise]=DBSCAN(X,epsilon,MinPts)

    C=0;
    
    n=size(X,1);
    IDX=zeros(n,1);  % 初始化全部为0，即全部为噪音点
    
    D=pdist2(X,X);
    
    visited=false(n,1);
    isnoise=false(n,1);
    
    for i=1:n
        if ~visited(i)
            visited(i)=true;
            
            Neighbors=RegionQuery(i);
            if numel(Neighbors)<MinPts
                % X(i,:) is NOISE
                isnoise(i)=true;
            else
                C=C+1;
                ExpandCluster(i,Neighbors,C);
            end
            
        end
    
    end
    
    function ExpandCluster(i,Neighbors,C)
        IDX(i)=C;
        
        k = 1;
        while true
            j = Neighbors(k);
            
            if ~visited(j)
                visited(j)=true;
                Neighbors2=RegionQuery(j);
                if numel(Neighbors2)>=MinPts
                    Neighbors=[Neighbors Neighbors2];   %#ok
                end
            end
            if IDX(j)==0
                IDX(j)=C;
            end
            
            k = k + 1;
            if k > numel(Neighbors)
                break;
            end
        end
    end
    
    function Neighbors=RegionQuery(i)
        Neighbors=find(D(i,:)<=epsilon);
    end

end

PlotClusterinResult.m

function PlotClusterinResult(X, IDX)

    k=max(IDX);

    Colors=hsv(k);

    Legends = {};
    for i=0:k
        Xi=X(IDX==i,:);
        if i~=0
            Style = 'x';
            MarkerSize = 8;
            Color = Colors(i,:);
            Legends{end+1} = ['Cluster #' num2str(i)];
        else
            Style = 'o';
            MarkerSize = 6;
            Color = [0 0 0];
            if ~isempty(Xi)
                Legends{end+1} = 'Noise';
            end
        end
        if ~isempty(Xi)
            plot(Xi(:,1),Xi(:,2),Style,'MarkerSize',MarkerSize,'Color',Color);
        end
        hold on;
    end
    hold off;
    axis equal;
    grid on;
    legend(Legends);
    legend('Location', 'NorthEastOutside');

end

6.优缺点

优点：

1. 基于密度定义，能处理任意形状和大小的簇；
2. 可在聚类的同时发现异常点；
3. 与K-means比较起来，不需要输入要划分的聚类个数。
   缺点：
4. 对输入参数ε和Minpts敏感，确定参数困难；
5. 由于DBSCAN算法中，变量ε和Minpts是全局唯一的，当聚类的密度不均匀时，聚
   类距离相差很大时，聚类质量差；
6. 当数据量大时，计算密度单元的计算复杂度大。

我的建议：
只有两个指标，且你做出散点图后发现数据表现得很“DBSCAN”，这时
候你再用DBSCAN进行聚类。
其他情况下，全部使用系统聚类吧。
K‐means也可以用，不过用了的话你论文上可写的东西比较少。