第一章 绪论+第二章 模型评估与选择

系列文章目录

本系列文章将总结《西瓜书》+《南瓜书》学习过程中的内容

参考资料：
1.《机器学习》 周志华
2.《机器学习公式详解》 谢文睿 秦州
3.【吃瓜教程】《机器学习公式详解》（南瓜书）与西瓜书公式推导直播合集

目前已完成部分：

第一章 绪论+第二章 模型评估与选择

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一、机器学习简介

1.基本术语

• 模型：泛指从数据中学的结果，对应了关于数据的某种潜在的规律，也成为“假设”
• 学习算法：在计算机上从“数据”中产生“模型”的算法
• 机器学习：研究关于“学习算法”的学问
• 数据集相关：
  • 记录：关于一个事件或对象的描述，称为 “示例” 或者 “样本”
  • 数据集：记录的集合
  • 属性/特征：事件或对象在某方面的表现或性质的事项
  • 属性值：属性上的取值
  • 属性空间/样本空间/输入空间：属性张成的空间，n个属性张成一个n维空间
    • 每个示例都能在属性空间中找到自己的坐标位置
    • 空间中每个点对应一个坐标向量
    • 因此每个示例称为一个 “特征向量”
• 数据集的表示：
  • $D=\left\{x_1,x_2,\dots ,x_m\right\}$，表示包含 $m$ 个示例的数据集
  • 如果每个示例由 $d$ 个属性描述，则每个示例表示为：$x_i=(x_{i1};x_{i2};\dots ;x_{id})$，是 $d$ 维样本空间 $\mathcal{X}$ 中的一个向量
    • $x_{ij}$ 是示例 $x_i$ 在第 $j$ 个属性上的取值
    • $d$ 称为样本 $x_i$ 的维数
• 训练过程中使用的数据称为训练数据，每个样本称为一个训练样本，训练样本组成的集合称为训练集
• 标记：训练样本的“结果”信息
• 样例：拥有了标记信息的示例
  • 一般地，用 $(x_i,y_i)$表示第 $i$ 个样例
  • $y_i\in \mathcal{Y}$ 是示例 $x_i$的标记
• $\mathcal{Y}$是所有标记的集合，称为标记空间或输出空间
• 分类：预测的是离散值
  • 二分类：只涉及两个类别的任务
    • 一个类为正类
    • 另一个类为反类
  • 多分类：涉及多个类别的任务
• 回归：预测的是连续值
• 聚类：将训练集中的示例分为若干组
• 测试：学得模型后，使用其进行预测的过程
• 根据训练数据是否拥有标记信息，学习任务可大致划分为两大类
  • 监督学习
    • 分类
    • 回归
  • 无监督学习
    • 聚类
• 泛化能力：学的模型适用于新样本的能力
  • 机器学习的目标是使学得模型能很好地适用于“新样本”，而不是仅仅在训练样本上工作得很好

2.假设空间

• 假设空间：所有假设组成的空间
• 假设的表示一旦确定，假设空间及其规模大小就确定了
  • 考虑假设空间规模的时候要考虑极端情况，例如 $\varnothing$
• 学习的过程就是在假设空间中进行搜索，找到与训练集匹配的假设，将训练集中的每个示例正确判断的假设
  • 在有限样本训练集的学习过程中，训练集可能会对应多个与其一致的假设，形成一个假设集合，称为版本空间

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二、模型评估与选择

1.经验误差与过拟合

• 错误率：分类错误的样本数/样本总数
• 精度：1-错误率，常写为百分比形式
• 误差：实际预测输出与样本真实输出之间的差异
  • 训练误差/经验误差：训练集上的误差
  • 泛化误差：新样本上的误差
• 学习过程期望：从训练样本中尽可能学出适用于所有潜在样本的普遍规律，能在新样本上表现好的学习器
• 过拟合：
  • 泛化性能下降
  • 把训练样本自身的一些特点当作所有潜在样本都会具有的一般性质，例如训练样本的树叶都有锯齿，则学习器误以为树叶必须有锯齿，不能对没有锯齿的新树叶做出正确判断
  • 最常见导致因素：学习能力过于强大，把训练样本不太一般的特性都学到了
  • 是机器学习面临的关键障碍
  • 无法彻底避免，只能缓解或减少其风险
• 欠拟合：
  • 训练样本的一般性质尚未学好，还是以判断是否为树叶为例，在学习过程中认为只要绿色的都是树叶，将所有绿色新样本都认定为树叶
  • 导致因素：学习能力低下
  • 较容易克服，例如在决策树学习中扩展分支、在神经网络学习中增加训练轮数等

2.评估方法

• 使用测试集测试学习器对新样本的判别能力，以测试集上的测试误差作为泛化误差的近似，作为模型评估与选择的标准
• 测试集的选择：
  • 假设测试样本是从样本真实分布中独立同分布采样而得
  • 测试集应该尽可能与训练集互斥，测试样本尽量不在训练集中出现
• 对包含$m$ 个样例的数据集$D=\left\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_m,y_m)\right\}$ ，如何产生训练集S和测试集T，有几种常见做法
  • 留出法
    • 直接将数据集$D$划分为两个互斥的集合，一个作为训练集，另一个作为测试集
    • 划分要尽可能保持数据分布的一致性，避免因数据划分过程引入额外偏差影响最终结果
      • 例如，分类任务中至少要保持样本的类别比例相似
    • 单次使用留出法得到的估计结果往往不够稳定可靠，一般要采用若干次随即划分、重复进行实验评估后取平均值作为留出法的评估结果
    • 常见做法：将大约2/3~4/5的样本用于训练，剩余样本用于测试
  • 交叉验证法——$k$折交叉验证

    • 将数据集划分为$k$个大小相似的互斥子集

    • 每个子集$D_i$尽可能保持数据分布的一致性，从$D$中通过分层采样得到

    • 每次用$k-1$个子集的并集作为训练集，余下的那个子集作为测试集

    • 得到$k$组训练/测试集，进行$k$次训练和测试

    • 最终返回$k$个测试结果的均值

    • 评估结果的稳定性和保真性很大程度上取决于$k$的取值

      • $k$最常用的取值为10
        • 参照西瓜书绘制的“10折交叉验证示意图”如下所示
          

    • 其他常用的$k$值有5、20等

  • 与留出法类似，为减少因样本划分不同而引入的差别，$k$折交叉验证通常要随机使用不同的划分重复$p$次
    • 最终评估结果是这$p$次$k$折交叉验证结果的均值
    • 例如常见的有10次10折交叉验证
  • 交叉验证发的特例——留一法：
    • 假定数据集$D$中包含$m$个样本，若令$k=m$，则为留一法
    • 留一法不受随机样本划分方式的影响
    • 留一法的训练集只比初始数据集少一个样本，绝大多数情况下，留一法的评估结果比较准确
    • 缺陷：数据集较大时，训练m个模型的计算开销太大，计算复杂度太高
  • 自助法
    • 留出法和交叉验证法都导致训练集比数据集小，会引入因训练样本规模不通过的估计偏差
    • 自助法以自助采样法为基础：
      • 给定包含$m$个样本的数据集$D$，对其采样产生数据集$D^{{}^{\prime }}$：
        • 每次随机从$D$中挑选一个样本，将其拷贝放入$D^{{}^{\prime }}$
        • 将该样本放回初始数据集$D$，使得该样本下次采样时仍有可能被采到
        • 上述过程重复$m$次后，得到包含m个样本的$D^{{}^{\prime }}$
      • $D$中有一部分样本会在$D^{{}^{\prime }}$中多次出现，而另一部分样本不出现
        • 样本在$m$次采样中始终不被采到的概率是$（1-\frac{1}{m}{)}^m$，取极限得到
          $$\underset{m\to \infty }{\lim }（1-\frac{1}{m}{)}^m=\frac{1}{e}\approx 0.368$$
        • 即通过自助采样，有36.8%的样本未出现在采样数据集$D^{{}^{\prime }}$中
      • 将$D^{{}^{\prime }}$用作训练集，$D\backslash D^{{}^{\prime }}$用作测试集
        • 实际评估模型与期望评估模型都使用$m$个训练样本
        • 有数据总量约1/3的、没在训练集中出现的样本用于测试
        • 测试结果，称为“包外估计”
    • 自助法在数据集较小、难以有效划分训练/测试集时很有用
    • 自助法能从初始数据集中产生多个不同的训练集，对集成学习等方法有很大的好处
    • 缺点：产生的数据集改变了初始数据集的分布，会引入估计偏差
  • 调参与最终模型
    • 对每种参数配置都训练出模型，然后把对应最好模型的参数作为结果
    • 常用做法：每个参数选定一个范围和变化步长
      • 虽然选定的参数值往往不是最佳值，但是计算开销和性能估计之间的折中结果
• 给定包含$m$个样本的数据集$D$，在模型评估与选择过程中由于需要留出一部分数据进行评估测试，只是用一部分数据训练模型。当学习算法和参数配置选定之后，应该用数据集$D$重新训练模型，这才是最终提交给用户的模型
• 测试数据：学得模型在实际使用中遇到的数据
• 验证集：模型评估与选择过程中用于评估测试的数据集

3.性能度量

• 模型的好坏是相对的，在对比不同模型的能力时，使用不同性能度量往往导致不同的评判结果
  • 什么样的模型是好的，不仅取决于算法和数据，还决定于任务需求
• 回归任务最常用的性能度量是均方误差
  $$E(f;D)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(f(x_i)-y_i{)}^2$$
  • 更一般地，对于数据分布$\mathcal{D}$和概率密度函数$p(\cdot )$，均方误差可描述为：
    $$E(f;D)={\int }_{x\sim \mathcal{D}}(f(x)-y{)}^{2}p(x)$$
• 分类任务常用地性能度量
  • 错误率与精度
  • 查准率、查全率与F1

    • 分类结果混淆矩阵
      

    • 查准率/准确率：
      $$P=\frac{TP}{TP+FP}$$

    • 查全率/召回率：
      $$R=\frac{TP}{TP+FN}$$

    • 查准率和查全率是相互矛盾地度量，一般来说，一个高，另一个则低。通常只有一些简单任务重，才可能两者都很高

    • P-R曲线：以查准率为纵轴、查全率为横轴做的图

      • 一个学习器A的P-R曲线完全被另一个学习器B的曲线包住，则B的性能优于A
      • 若曲线发生交叉则难判断谁的性能更好

    • 平衡点（BEP）：查准率=查全率时的取值

    • F1度量：
      $$F1=\frac{2\times P\times R}{P+R}=\frac{2\times TP}{样例总数+TP-TN}$$