Prim算法详解 + 模板 + 例题

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。 ——百度百科

一、基本思想

（1）输入：一个加权连通图，顶点集V，边集E；
（2）初始化：可选择任意结点x为起始点，将起始点x加入顶点集V1 = {x}，边集为空E1 = { }；
（3）重复下列操作，直到所有顶点全部加入顶点集V1中，即V1 = V：
a. 在集合E中寻找权值最小的边，其中结点u在集合V1中，而结点v不在集合V1中，并且v∈V（如果存在多条符合要求的边，任选其一即可）；
b. 将结点v加入顶点集V1中，将边加入边集E1中；
（4）输出：通过顶点集V1与边集E1打印最小生成树及其他相关操作。

二、时间复杂度

使用邻接矩阵存储图信息时间复杂度为：O(n^2)
使用邻接表存储图信息时间复杂度为：O(m*logn)
其中n为顶点数，m为图的边数。

三、图解

四、模板

prim算法需要用到两个主要数组：

int lowcost[N]; //lowcost[i]表示i到集合最近的距离
int mst[N]; //mst[i]表示对应i为终点的边的起点

int Prim(){
	fill(lowcost, lowcost + N, INT_MAX);
	fill(mst, mst + N, 1);
	for(int i = 2; i <= n; i++){
		lowcost[i] = v[1][i];
	}
	int u, minn, sum = 0;
	for(int i = 2; i <= n; i++){
		minn = INT_MAX;
		for(int j = 2; j <= n; j++){
			if(lowcost[j] != 0 && minn > lowcost[j]){
				minn = lowcost[j];
				u = j;
			}
		}
		sum += minn;
		lowcost[u] = 0;
		for(int k = 2; k <= n; k++){
			if(v[u][k] < lowcost[k]){
				lowcost[k] = v[u][k];
				mst[k] = u;
			}
		}
	}
	return sum;
}

五、例题

1、模板题 洛谷P3366 【模板】最小生成树
AC代码：

#include
#include
#include

using namespace std;
const int N = 5010;
int n, m;
int v[N][N]; 
int lowcost[N];//存储距离集合最近的距离 
int mst[N];

int Prim(){
	fill(lowcost, lowcost + N, INT_MAX);
	fill(mst, mst + N, 1);
	for(int i = 2; i <= n; i++){
		lowcost[i] = v[1][i];
	}
	int minn, u, sum = 0;
	for(int j = 2; j <= n; j++){
		minn = INT_MAX;
		for(int i = 2; i <= n; i++){
			if(lowcost[i] != 0 && minn > lowcost[i]){
				minn = lowcost[i];
				u = i;
			}
		}
		sum += minn;
		lowcost[u] = 0;
		for(int i = 2; i <= n; i++){
			if(lowcost[i] > v[u][i]){
				lowcost[i] = v[u][i];
				mst[i] = u;
			}
		}
	}
	return sum;
}
int main(){
	fill(v[0], v[0] + N*N, INT_MAX);
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= m; i++){
		int a, b, c;
		cin >> a >> b >> c;
		v[a][b] = v[b][a] = min(v[a][b], c);
	}
	int ans = Prim();
	cout << ans << endl;
	return 0;
}