离散卷积和快速傅里叶变换的解释和实施步骤

---

新人博主，多多支持

本文由 EasyAI 原创，首发于 CSDN

⌚️ 欢迎点赞 收藏 ⭐留言 如有错误敬请指正！

未来很长，值得我们全力奔赴更美好的生活✋

---

什么是循环卷积、卷积矩阵和环形矩阵？如何使用FFT？

---

循环卷积

首先，我们来回顾一下什么是循环卷积。在离散序列（如向量）上，循环卷积是两个离散数据序列的卷积，它在最大限度地提高某种普通过滤操作的效率方面起着重要作用[1]。根据定义，循环卷积可以被正式描述如下。

这里，向量x的长度为T，而向量y的长度为τ。如果我们遵循循环卷积的定义，那么得到的向量z的长度也是T，与向量x相同。

根据循环卷积的定义，我们可以用一些简单的例子来帮助理解这个概念。

可以看出，两个向量的环形卷积基本上采取线性系统。它基本上提供了对建立卷积矩阵和环形矩阵的见解。

---

卷积矩阵

按照上述符号，如果我们有向量x（长度为T）和y（长度为τ），那么循环卷积可以写成一个线性方程组。

为了检查如何通过使用卷积算子建立卷积矩阵，我们利用以下例子。

在这种情况下，卷积矩阵有5行（与x的长度相同）和3列（与τ相同），其列由以下公式给出

• ($x1$, $x2$, $x3$, $x4$, $x5$），从$x$1到$x5$开始。

• ($x5$, $x$1, $x2$, $x3$, $x4$)，第一项为$x5$。

• ($x4$, $x5$, $x1$, $x2$, $x3$），前两项为$x4$和$x5$。

那么，上面提到的例子现在变成了

可以看出，结果与循环卷积相同。

---

循环矩阵

回想一下，卷积矩阵对长度为$T$的向量$x$起作用，是否有可能保留向量$x$并在$y$上建立某种矩阵？

答案是肯定的! 让我们来看看循环卷积的一个重要属性。

根据循环卷积的定义，我们可以在长度为$\tau$的向量y上建立一个大小为$T$乘$T$的循环矩阵$Y$，由于$\tau$不大于$T$，循环矩阵$Y$有时是稀疏的。例如，我们有

环形矩阵中共有5列。请注意，第一列是（$y1$, $y2$, $y3$, $0$, $0$），其中第一列的最后两个条目是由零填充的。

那么，上面提到的例子现在变成了

可以看出，结果与循环卷积相同。

---

离散傅里叶变换

离散傅里叶变换（DFT）是数学中的一个重要概念，在数字信号处理和图像处理领域有广泛的应用。DFT是最重要的离散变换，在许多实际应用中用来进行傅里叶分析[2]。由于DFT的实现通常采用高效的快速傅里叶变换（FFT）算法，所以FFT和DFT这两个术语经常被交替使用[2]。

请注意，FFT是一种计算DFT的高效算法（DFT和FFT的区别见[3]）。它是任何高效算法的名称，可以在大约$O$($n$ log $n$)时间内计算DFT，而不是$O(n^2)$时间[3]。

在这个帖子中，我们可以利用这样一个事实：时域的卷积是频域的乘积。DFT卷积定理可以总结如下，

那么，上面的例子现在变成了：

在这里，向量$y$的最后两个条目被填充了零，它确实是环形矩阵$Y$的第一列。

可以使用NumPy包来计算FFT和反FFT。

值得注意的是，要执行 Hadamard 产品，$fx$和$fy$应该具有相同的长度。

---

结论

在信号处理中，可以证明时域的卷积是频域的乘积。如果将向量变换到频域，我们可以使用DFT（或现实计算中的FFT）来实现快速计算，它本质上是变换向量的 Hadamard 积的逆 FFT。为了达到循环卷积和DFT之间的最终属性，我们引入了一些基本概念：循环卷积、卷积矩阵和循环矩阵。

---

参考

[1] 维基百科上的循环卷积：https://en.wikipedia.org/wiki/Circular_convolution

[2] 维基百科上的离散傅里叶变换：https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform

[3] DFT和FFT有什么区别？https://math.stackexchange.com/q/30464/738418