傅里叶变换、拉普拉斯变换与z变换对比

前几天学自动控制原理，突然感觉自己傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换的区别和联系没有特别清楚，所以就放在一起研究了一下，整理总结后记录在这里。

一、傅里叶变换

傅里叶变换的基础是傅里叶级数。先讲傅里叶级数是什么。

1.1 傅里叶级数

法国数学家傅里叶认为，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数。

三角形式的傅里叶级数如下：

根据欧拉公式，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。欧拉公式如下：

指数形式的傅里叶级数如下：

其中，

k=0时，

为函数的直流分量

k=1时，

此时通常被称为函数的基波

k取不同值时(k>1)的三角函数被称为函数的k次谐波

• 需要注意的是，在傅里叶级数的定义里，只有周期函数才可以展开为傅里叶级数

• 其实任何周期函数都可以展开为傅里叶级数，只不过得到的傅里叶级数不一定收敛

那么，如果满足迪利克雷条件的周期函数，其傅里叶级数就是收敛的

迪利克雷条件（ 傅里叶级数收敛的充分不必要条件）：
1.在一个周期内，函数是 绝对可积的；
2.在一个周期内，函数 连续或者只有有限个第一类间断点；
3.在一个周期内，函数 极大值和极小值的数目是有限个。

以方波信号为例：

周期为T，脉宽为2的方波信号的傅里叶级数展开为：

傅里叶级数的图像如图：

当时，离散的傅里叶级数序列会编程连续的曲线，即傅里叶变换

研究了周期函数的傅里叶级数，那么人们就会迁移思考：非周期函数是否也能这样表示呢，如果要表示需要对公式做哪些改变呢？从而就有了对傅里叶变换的研究。

1.2 傅里叶变换

对于一个非周期函数，其实可以看成一个周期为的周期函数

例如一个周期函数图像如下：

令，得到：

从公式来推导：

用表示周期函数，根据傅里叶级数：

而，如上面的函数图像所示。

由于，则

（从离散的变成连续的）

所以就变成了

这就是傅里叶变换的公式

而此时则变成了

这就是傅里叶逆变换

• 注意：如果对周期信号取傅里叶变换，那么得到的结果其实并不是傅里叶级数的系数值，而是的值

1.3 傅里叶变换的局限

事实上，并不是所有的函数都可以进行傅里叶变换，必须满足迪利克雷条件才可以进行傅里叶变换

与傅里叶级数收敛的充分不必要条件一样，傅里叶变换的迪利克雷条件为：

迪利克雷条件（ 傅里叶变换存在的充分不必要条件）：
1.在整个定义域内，函数是 绝对可积的；
2.在整个定义域内，函数 连续或者只有有限个第一类间断点；
3.在整个定义域内，函数 极大值和极小值的数目是有限个。

其实只需要把傅里叶级数的迪利克雷条件的周期内变成整个定义域内就可以了

1.4 常见函数的傅里叶变换

二、拉普拉斯变换

2.1 为什么需要引入拉普拉斯变换

傅里叶变换在信号频域研究上起到了非常重要的作用，可是并不是所有的信号都可以进行傅里叶变换。那么对于无法进行傅里叶变换的信号，我们想研究它的频域特性，应该怎么办呢？

例如：我们已知，虽然并不满足迪利克雷条件中绝对可积的条件，这也说明了迪利克雷条件其实是充分不必要条件。但是函数显然就无法进行傅里叶变换，这里可以归结为它的增长速度太快，以至于在绝对值积分的时候没法收敛。

那么我们要解决这个问题，针对无法进行傅里叶变换的函数，引入了拉普拉斯变换。其最通俗基本的原理就是给我们的函数乘一个，我们需要取合适的使得它可以快速下降，这样它就可以满足迪利克雷条件的绝对可积这一条件，这样就可以进行傅里叶变换了。

2.2 拉普拉斯变换

对于函数，令，对做傅里叶变换，得：

此时，变换结果的变量从傅里叶变换的变为了和两个，但其实我们发现总是和虚数单位J在一起，所以我们将和两个变量合成为一个变量

于是我们得到了拉普拉斯变换的完整公式：

需要注意的是，我们上面讲了需要取合适的使得可以快速下降，所以对于一些升高比较快的函数，我们需要限定比较大，才可以使得这个函数满足迪利克雷条件。所以，拉普拉斯变换不像傅里叶变换那样没有变量范围的限定，它需要有ROC(Range of Re{s} (or ) for X(s) to converge)与拉普拉斯变换配套存在。事实上，ROC也是拉普拉斯变换的一部分，对于相同的表达式，不同的ROC，其时域函数有可能完全不同，所以一定需要注意ROC不可以遗漏。

拉普拉斯逆变换公式：

2.3 常见函数的拉普拉斯变换

三、z变换

我们知道z变换其实是为离散信号而引入的一种变换，其主要原理和拉普拉斯变换很相似，是为了解决一些离散序列无法进行离散时间傅里叶变换而引入的。我们首先介绍离散时间傅里叶变换。

3.1 DTFT离散时间傅里叶变换

我们上面已经介绍了连续时间傅里叶变换，即傅里叶变换，公式如下：

那么我们将转化为离散的，积分变为求和，即得到了离散时间傅里叶变换：

至于为什么要用 而不是 ，这个问题其实也让我疑惑，我初步思考的结果是：
为了区分离散和连续。试想，如果你看到这样一个符号 ，在没有区分的情况下你并不知道这个变换是连续的还是离散的，所以我觉得可能是为了区分。
括号中 的代表一个复数，即模为1的复数，而不是 所代表的纯虚数，这样也是为z变换做准备。
我看到有博客解释说一个是积分一个是求和，没有特别理解。

3.2 z变换的引入

要想进行DTFT，也必须满足离散傅里叶级数的迪利克雷条件。

迪利克雷条件（DTFT存在的充分不必要条件）
序列 绝对可和

如果有序列无法满足迪利克雷条件，那么我们就想给序列乘一个使得它绝对可积

3.3 z变换

DTFT公式：

如果无法进行DTFT，那么

给乘后再做DTFT得：

此时,

需要注意的是，同拉普拉斯变换一样，z变换也需要定义ROC

逆z变换：

逆Z变换是一个对Z进行的围线积分，积分路径C是一条在 收敛环域（Rx-，Rx+）以内逆时针方向绕原点一周的单围线。

求解逆Z变换的常用方法有：
（1）幂级数展开法（部分分式展开法）
（2）留数定律法
（3）利用已知变换对
（4）长除法

3.4 常见序列的z变换

四、总结

最后总结一下，其实拉普拉斯变换和z变换分别对应着傅里叶变换在连续情况和离散情况下的推广，是针对那些无法进行傅里叶变换的函数或者序列而引入的，其基本原理都是给原函数或者序列乘一个下降很快的指数函数，让其变得绝对可积，再进行傅里叶变换就得到了拉普拉斯变换和z变换。

他们将傅里叶变换所定义的频域，拓展到了复频域。给函数的研究提供了新的思路。

值得注意的是，拉普拉斯变换和z变换都需要定义ROC。这一点很重要。