Unity相机透视投影矩阵的推导笔记

相机透视投影矩阵的目标是将视锥体内的顶点映射到规范观察立方体内

透视锥到标准设备坐标

先用相似三角形的原理，计算出x与y在近裁剪面上的投影

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先计算x轴

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同理，再计算y轴

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因为Xp,Yp都与-Ze成反比，因为相机空间的坐标被GL_PROJECTION矩阵转换后还是齐次坐标，最终得到NDC坐标是通过除以裁剪坐标的W-元素来得到的，所以把-Ze当作裁剪坐标的W元素

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接下来根据Xp->Xn, Yp->Yn的映射关系：[r,l] [1, -1],[b,t],[1, -1]得出归一后公式(一次函数)

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把Xp,与Yp代入到公式中

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使方程里的每一项都除以-Ze,使括号里的变成了裁剪坐标Xc,Yc
这样，已经推导出了第一排与第二排

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求Zn与Xn，Yn不太一样，所有点的Ze投影到近裁剪面上以后都是相同的，但是我们要用Ze来进行裁剪与深度测试,所以我们要反向投影。Z轴与X,Y轴是无关联的，可以用z轴与近裁剪面与远裁剪面相交的两个特殊点[0,0,-n,1],[0,0,-f,1],反推出映射关系中的A,B

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因为在相机空间中，We是1所以简化为

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在规则观察体里-n映射成-1,-f映射成1,代入方程

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解方程A,B

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再把Ze与Zn的关系代入

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得到最终矩阵

OpenGL Perspective Projection Matrix

如果相机视锥是对称的，r=-l, t=-b，投影矩阵可以简化为

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需要注意到Ze与Zn的关系不是线性的，离近裁剪面近的时候变化很大，远的时候变化很小，这会导致深度的精度问题，所以尽可能使用小一些的深度值

Comparison of depth precision

学习参考文章：http://www.songho.ca/opengl/gl_projectionmatrix.html
学习参考文章2：https://zhuanlan.zhihu.com/p/359128442