基于重要性采样的期望估计——sampled softmax推导

一、背景

在推荐召回系统中，通常会采用tow-tower模型并利用log softmax作为损失进行优化，设$[B]$为mini-batch，$[C]$为全局语料库，$s(x,y)$为query x和item y的相似度分数，则有如下的损失函数：
$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}& =-\frac{1}{B}\sum _{i\in [B]}log(\frac{e^{s(x_i,y_i)}}{{\sum }_{j\in [C]}{e}^{s(x_i,y_j)}})\\ & =-\frac{1}{B}\sum _{i\in [B]}\{s(x_i,y_i)-log\sum _{j\in [C]}{e}^{s(x_i,y_j)}\}\end{array}$$

对损失求导
$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{\theta }\mathcal{L}& =-\frac{1}{B}\sum _{i\in [B]}\{{\nabla }_{\theta }s(x_i,y_i)-\sum _{j\in [C]}\frac{e^{s(x_i,y_j)}}{{\sum }_{k\in [C]}{e}^{s(x_i,y_k)}}{\nabla }_{\theta }s(x_i,y_j)\}\\ & =-\frac{1}{B}\sum _{i\in [B]}\{{\nabla }_{\theta }s(x_i,y_i)-\sum _{j\in [C]}P(y_j|x_i){\nabla }_{\theta }s(x_i,y_j)\}\\ & =-\frac{1}{B}\sum _{i\in [B]}\{\underset{partone}{{\nabla }_{\theta }s(x_i,y_i)}-\underset{parttwo}{E_P[{\nabla }_{\theta }s(x_i,y_j)]}\}\end{array}$$
可以发现梯度的第二部分是${\nabla }_{\theta }s(x_i,y_j)$关于target distribution P的期望，由于语料库的规模十分庞大，导致在计算配分函数时产生巨大的计算开销，因此需要对期望（梯度）进行近似计算，比较常见的做法是利用importance sampling采样较小规模的item来近似期望(sampled softmax)，本文将对sampled softmax的计算公式进行推导，供学习参考，如有错误还请指出

二、公式推导

设P为target distribution，Q为proposal distribution，重要性采样的基本思想是利用更容易采样的Q分布进行采样
$$\begin{array}{rl}{E}_P[{\nabla }_{\theta }s(x_i,y_j)]& =\sum _{j\in C}P(y_j|x_i){\nabla }_{\theta }s(x_i,y_j)\\ & =\sum _{j\in C}\frac{P(y_j|x_i)}{Q(y_j|x_i)}Q(y_j|x_i){\nabla }_{\theta }s(x_i,y_j)\\ & =E_Q[\frac{P(y_j|x_i)}{Q(y_j|x_i)}{\nabla }_{\theta }s(x_i,y_j)]\\ & \approx \frac{1}{B}\sum _{j\in [B]}\frac{P(y_j|x_i)}{Q(y_j|x_i)}{\nabla }_{\theta }s(x_i,y_j)\end{array}$$

其中 $\frac{P(y_j|x_i)}{Q(y_j|x_i)}$就是importacne sampling中的重要性权重，分布Q与分布P越接近，则权重越大，在公式(9)中，我们从分布Q中采样B个样本，计算近似期望

在得到期望的近似计算公式后，我们再将$P(y_j|x_i)$的计算公式代入
$$\begin{array}{rl}{E}_P[{\nabla }_{\theta }s(x_i,y_j)]& \approx \frac{1}{B}\sum _{j\in [B]}\frac{P(y_j|x_i)}{Q(y_j|x_i)}{\nabla }_{\theta }s(x_i,y_j)\\ & =\frac{1}{B}\sum _{j\in [B]}\frac{e^{s(x_i,y_j)}}{Q(y_j|x_i){\sum }_{k\in C}{e}^{s(x_i,y_k)}}{\nabla }_{\theta }s(x_i,y_j)\\ & =\frac{1}{B}\sum _{j\in [B]}\frac{e^{s(x_i,y_j)-lnQ(y_j|x_i)}}{{\sum }_{k\in C}{e}^{s(x_i,y_k)}}{\nabla }_{\theta }s(x_i,y_j)\end{array}$$
可以发现由于$P(y_j|x_i)$的计算引入了配分函数，导致计算量仍然十分庞大，因此需要对配分函数的计算进行简化，思路是构造一个期望的形式，然后同样采样B个样本近似计算期望
$$\begin{array}{rl}\sum _{k\in C}{e}^{s(x_i,y_k)}& =\sum _{k\in C}Q(y_k|x_i)\cdot \frac{1}{Q(y_k|x_i)}{e}^{s(x_i,y_k)}\\ & =E_Q[Q(y_k|x_i)e^{s(x_i,y_k)-lnQ(y_k|x_i)}]\\ & =E_Q[e^{s(x_i,y_k)-lnQ(y_k|x_i)}]\\ & \approx \frac{1}{B}\sum _{k\in [B]}{e}^{s(x_i,y_k)-lnQ(y_k|x_i)}\end{array}$$
令$s^c(x_i,y_i)=s(x_i,y_i)-lnQ(y_i|x_i)$，即可得到最终的计算公式：
$$\begin{array}{rl}{E}_P[{\nabla }_{\theta }s(x_i,y_j)]& \approx \frac{1}{B}\sum _{j\in [B]}\frac{s^c(x_i,y_j)}{\frac{1}{B}{\sum }_{k\in [B]}{s}^c(x_i,y_k)}{\nabla }_{\theta }s(x_i,y_j)\\ & =\sum _{j\in [B]}\frac{s^c(x_i,y_j)}{{\sum }_{k\in [B]}{s}^c(x_i,y_k)}{\nabla }_{\theta }s(x_i,y_j)\end{array}$$
至此公式推导完毕，sampled softmax在实际使用中只需利用负采样得到数量较少的负样本，将修正后的分数代入log-softmax即可，大大减小了计算量，但同时也引入了bias，因此许多研究关注于提高采样分布的质量和偏差的修正

Reference

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