九、空间变换_转换模型

功能磁共振成像分析的几个方面需要以某种方式对图像进行空间变换，例如，在个体内部对齐图像(可能是为了校正头部运动)，或者跨个体对齐图像(以便进行群体分析)。变换图像的方法有无限种。简单的变换(具有少量参数)可能会在空间中移动结构而不改变其形状，而更复杂的变换可能会使两个复杂结构的形状彼此匹配。通常，我们将重点介绍与体素数量相关的参数相对较少的方法。我们还将重点放在自动化方法上，这些方法不需要任何手动描绘解剖和标记，因为这些是目前最常见的方法。这里我们只讨论基于体积的转换，它涉及到对三维数据体积的更改。在之后关于空间标准化，我们还要讨论基于表面的配准，它使用表面(如大脑皮层表面)而不是体积来对数据进行空间变换。

将一幅图像与另一幅图像对齐需要两个步骤。首先，我们必须估计产生最佳比对的变换参数。这就要求我们有一个转换模型，该模型指定更改图像以重新对齐图像的方式。这种模型中的每个参数都描述了要对图像进行的更改。一个非常简单的模型可能只有几个参数；这样的模型可能只会做一些粗略的改变，而不会对这两幅图像的细微细节保持一致。复杂的模型可能有更多的参数，将能够更好地对齐图像，特别是在更精细的细节上。我们还需要一种方法来确定两幅图像的错位程度，我们将其称为成本函数。我们希望最小化该成本函数，以便找到最佳对准两幅图像的参数。一旦我们确定了转换模型的参数，我们就必须对原始图像进行重新采样，以创建转换的版本。将每个体素的原始坐标转换到新空间，并基于这些转换后的坐标创建新图像。由于变换后的坐标通常不会精确地落在原始图像的坐标之上，因此有必要计算这些中间点的强度值，这就是所谓的插值。整个图像插值方法范围从简单(如选择最接近的原始体素)到复杂的加权平均值。

1. 仿射变换

功能磁共振成像中使用的最简单的变换模型涉及线性运算符的使用，也称为仿射变换。仿射变换的一个特点是，在变换之前落在一条线上的任何一组点在变换后都会继续落在一条线上。因此，不可能使用仿射变换从根本上更改对象的形状(如弯曲)。

仿射变换涉及线性变换的组合：

沿每个轴的平移(平移)

绕每个轴旋转

沿每个轴缩放(拉伸)

沿每个轴剪切

图2.3显示了每种转换的示例。对于三维图像，这些操作中的每一个都可以针对每个维度执行，并且每个维度的操作由单个参数表示。因此，完全仿射变换(其中图像在三维中沿每个轴平移、旋转、倾斜和拉伸)由12个参数描述。

2.3 线性变换的示例。在每个图中，黑点表示原始坐标位置，蓝点表示应用变换后的新位置

在某些情况下，您可能希望仅使用可能的线性变换的子集来变换图像，这对应于具有少于12个参数的仿射变换。例如，在运动校正中，我们假设头部在不改变其大小或形状的情况下随时间移动。我们可以使用仅具有六个参数（三个平移和三个旋转）的仿射变换来重新对齐这些图像，这也称为刚体变换，因为它不会更改图像中对象的大小或形状。

仿射变换的数学

仿射变换涉及图像坐标的线性更改，可表示为：

其中Ctransformed变换是变换后的坐标，Corig是原始坐标,T是变换矩阵。为了更方便地应用矩阵运算，通常将坐标表示为齐次坐标，在齐次坐标中，随后的维度坐标被嵌入(N+1)维向量中。这是一个数学技巧，它使执行操作变得更容易(通过允许我们编写Ctransform=T∗Corigin而不是Ctransform=T∗Corig+Translate)。为简单起见，这里我们提供一个实现二维坐标转换的转换矩阵的示例：

其中CX和CY分别是X和Y维度上的坐标。给定这些坐标，则可以如下定义每个变换：

沿X(TransX)和Y(TransY)轴平移：

平面旋转(按角度θ)：

沿X(ScaleX)和Y(ScaleY)轴缩放：

沿X(ShearX)和Y(ShearY)轴剪切：

2. 分段线性变换

仿射变换的一个扩展是将整个图像分成几个部分，并允许在每个部分内进行不同的线性变换。这称为分段线性变换。在Jean Talairach提出的早期脑图像空间归一化方法中，使用了分段线性变换。

3. 非线性变换

与仿射变换相比，非线性变换在图像配准中提供了更大的灵活性，从而可以更精确地匹配不同的图像。有非常广泛的非线性变换技术可用，我们在这里只能触及皮毛；有关更多细节，请参见Ashburner&Friston(2007)和Holden(2008)。仿射变换仅限于体素坐标上的线性运算，而非线性变换允许任何类型的运算。非线性转换通常用基础函数来描述，基础函数是用于转换原始坐标的函数。前面描述的仿射变换是基函数的一个例子。但是，基础函数扩展还允许我们以更高维的形式重新表示坐标，从而允许更复杂的转换。

例如，多项式基展开涉及原始坐标的多项式函数。二阶多项式展开涉及原始坐标(X/Y/Z)的所有可能组合，最高可达2的幂：

其中，//是变换后的坐标。此扩展共有30个参数。可以扩展到任何阶数，随着阶数的增加，参数的数量会迅速增加；例如，12阶多项式在三维中总共有1,365个参数。在fMRI数据分析中常见的另一个非线性基函数集是离散余弦变换(DCT)基集，其历史上用于SPM(Ashburner&Friston，1999)，尽管最近已被样条基函数所取代。该基集包括开始于低频(在图像中变化非常缓慢)且频率增加的余弦函数。它与傅立叶变换密切相关。每个余弦函数都有一个与之相关的参数；低频分量负责更渐进的变化，而高频分量负责更局部的变化。

对于所有的非线性变换，参数的数量越多，变换图像的自由度就越大。具体地说，高维变换允许更局部化的变换；线性变换必然以等效的方式影响整个图像，而非线性变换可以比其他部分更剧烈地改变图像的某些部分。

以上内容来自《Handbook of functional MRI Data Analysis》。