LA@三秩相等@向量组相关定理

矩阵的三秩相等

• 即:矩阵的行秩和列秩都和矩阵的秩相等

• 记为:$r_r(A)=r_c(A)=r(A)$

• 证明:

  • 设矩阵A的行秩和列秩为$r$

  • 矩阵A的行向量组的极大无关组包含r个行向量

  • 则矩阵A的任意$r+1$个向量都线性相关

  • 矩阵A的任意$r+1$阶子式的行向量也都线性相关

    • 将r+1阶子式对应的行列式取矩阵,则该矩阵(方阵)记为$Q$,其含有r+1个行向量
    • 由于Q的行向量线性相关,从而方程$Qx=0$具有非零解,也即是$|Q|=0$

  • 设A的一个极大线性无关组构成的矩阵为(设A的前r行能构成极大无关组)

    • A 1 = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a r 1 a r 2 ⋯ a r n ) A_1 =\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{r1}&a_{r2}&\cdots&a_{rn} \end{pmatrix} A1​= ​a11​⋮ar1​​a12​⋮ar2​​⋯⋯​a1n​⋮arn​​ ​

    • 因为$r_r(A_1)=r_c(A_1)=r$,不妨设$A_1$的前r列构成$A_1$的列向量组的极大无关组,将该组对应的矩阵记为$A_2$

      • A 2 = ( a 11 ⋯ a 1 r ⋮ ⋮ a r 1 ⋯ a r r ) 由于 A 2 的列向量组线性无关 , A 2 x = 0 只有一个零解 且 ∣ A 2 ∣ ≠ 0 ∣ A 2 ∣ 就是 A 的一个非 0 的 r 阶子式 ( r + 1 阶子式全为 0 ) ∴ A 的秩就是 r A_2=\begin{pmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1r}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{r1}&\cdots&a_{rr} \end{pmatrix} \\ 由于A_2的列向量组线性无关,A_2x=0只有一个零解 \\且|A_2|\neq{0} \\|A_2|就是A的一个非0的r阶子式(r+1阶子式全为0) \\ \therefore A的秩就是r A2​= ​a11​⋮ar1​​⋯⋯​a1r​⋮arr​​ ​由于A2​的列向量组线性无关,A2​x=0只有一个零解且∣A2​∣=0∣A2​∣就是A的一个非0的r阶子式(r+1阶子式全为0)∴A的秩就是r

例

• A = ( 1 1 1 4 − 3 2 1 3 5 − 5 1 − 1 3 − 2 − 1 3 1 5 6 − 7 ) α 1 , ⋯   , α 5 分别对应 A 的 5 个列 对 A = ( Φ ) = ( α 1 , ⋯   , α 5 ) 做初等行变换 不妨记变换后的矩阵维 B = ( Ψ ) = ( β 1 , ⋯   , β 5 ) B 的行简化阶梯形矩阵形式 : ( 与 A , B 均等价 ) B = ( 1 0 2 1 − 2 0 1 − 1 3 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) 变换前后的任何相应部分 ( 或全部 ) 列向量组成的方程组仍然同解 因此 , 若 B 中的 β i 1 , ⋯   , β i r 是 Ψ 的极大无关组 , 则 原向量组 Φ 中的向量 α i 1 , ⋯   , α i r 也是 Φ 的极大无关组 . A=\begin{pmatrix} 1& 1& 1& 4& -3 \\ 2& 1& 3& 5& -5 \\ 1& -1& 3& -2& -1 \\ 3& 1& 5& 6& -7 \\ \end{pmatrix} \\\alpha_1,\cdots,\alpha_5分别对应A的5个列 \\ 对A=(\Phi)=(\alpha_1,\cdots,\alpha_5)做初等行变换 \\不妨记变换后的矩阵维B=(\Psi)=(\beta_1,\cdots,\beta_5) \\B的行简化阶梯形矩阵形式:(与A,B均等价) \\B=\begin{pmatrix} 1& 0& 2& 1& -2 \\ 0& 1& -1& 3& -1 \\ 0& 0& 0& 0& 0 \\ 0& 0& 0& 0& 0 \\ \end{pmatrix} \\ \\变换前后的任何相应部分(或全部)列向量组成的方程组仍然同解 \\因此,若B中的\beta_{i_1},\cdots,\beta_{i_r}是\Psi的极大无关组,则 \\原向量组\Phi中的向量\alpha_{i_1},\cdots,\alpha_{i_r}也是\Phi的极大无关组. A= ​1213​11−11​1335​45−26​−3−5−1−7​ ​α1​,⋯,α5​分别对应A的5个列对A=(Φ)=(α1​,⋯,α5​)做初等行变换不妨记变换后的矩阵维B=(Ψ)=(β1​,⋯,β5​)B的行简化阶梯形矩阵形式:(与A,B均等价)B= ​1000​0100​2−100​1300​−2−100​ ​变换前后的任何相应部分(或全部)列向量组成的方程组仍然同解因此,若B中的βi1​​,⋯,βir​​是Ψ的极大无关组,则原向量组Φ中的向量αi1​​,⋯,αir​​也是Φ的极大无关组.

  • 通常,为了用极大无关组去表示其他不在极大无关组中的向量,记为${\alpha }_p,\cdots ,{\alpha }_q,$

  • 需要将B进一步初等行变换为行简化阶梯形矩阵,可以从中读出${\alpha }_p,\cdots ,{\alpha }_q$关于极大无关组的表出系数.

  • 而极大无关组的选取可以从行阶梯矩阵的各个阶梯上分别选取一个(阶梯上的元素非零元素所在的列)

    • 阶梯数和非零行的行数一致(都为r)
    • 选中的向量个数恰为r个(极大无关组包含的向量个数为r
      • 也就是说,极大线性无关组包含的向量个数是确定的)

  • 如此构成的向量组形如

    • $$I=\left(\begin{array}{c}{U}_r\\ 0\end{array}\right)$$

    • $U_r$是r阶上三角矩阵(方阵),$|U_r|\ne 0$(即$U_{r}x=0$只有零解,构成$I$的向量线性无关)

    • 此时如果向$I$加入新向量${\beta }_w$,构成$\Delta =I\cup {\beta }_w$,则由于$r<t=r+1$,向量组$\Delta$线性相关,且${\beta }_w$可以被$I$唯一线性表出(前面讨论过相关结论)

  • 上例中,对于B,取极大无关组$I={\beta }_1,{\beta }_2$,则其余向量可以表示为:

    • ${\beta }_3=2{\beta }_1-{\beta }_2$
    • ${\beta }_4={\beta }_1+3{\beta }_2$
    • ${\beta }_5=-2{\beta }_1-{\beta }_1$
    • 将$\beta$替换为$\alpha$,即得到A对应的向量组$\Phi$的极大无关组和其余向量用极大无关组的表示

矩阵秩和矩阵方程之间的关系

• 矩阵方程$AX=B$有解的充要条件是$r(A)=r(A,B)$

  • 注意这里X,B的规格不一定是向量

  • 证明:

    • 设A,B,X分别为$m\times n,m\times l,n\times l$的矩阵

    • 对X和B按列分块:

      • $X=(x_1,\cdots ,x_l)$,
      • $B=(b_1,\cdots ,b_l)$

    • 矩阵方程$AX=B$等价于$l$个向量方程

      • $C_i=A{x}_i=b_i(i=1,2,\cdots ,l)$

    • 记A的行简化(行最简形)矩阵为$A$(仅通过初等行变换即可转化)

      • 则$A$有r个非零行,且$A$的后$m-r$行为全零行
      • $C=(A,B)=(A,b_1,\cdots ,b_l)\to (A,b_1,\cdots ,b_l)$
        • 其中$A$是A的行最简形式
        • 而$b_1,\cdots ,b_l$后续再讨论
      • 从列向量的角度改写为$(A,b_i)\to (A,b_i)(i=1,2,\cdots ,l)$

    • $AX=B$有解$\iff A{x}_i=b_i(i=1,2,\cdots ,l)有解$

      • $\iff r(A,b_i)=r(A)=r$,$(i=1,2,\cdots ,l)$
      • $\iff b_i$的后$m-r$个分量(元)全为0$(i=1,2,\cdots ,l)$
        • 若后$m-r$个元中存在非零元,会导致$r(A,b_i)>r(A)$
        • 而其前$r$个元的取值情况不会影响$r(A,b_i)=r(A)$的成立,我们不关心
      • $\iff$矩阵$(b_1,\cdots ,b_l)$的后$m-r$行全为0
      • $\iff r(A,B)=r=r(A)$

    • 因此,如果$AX=B$有解,则$r(A,B)=r(A)$

• 设$AB=C$,则$r(C)⩽min(r(A),r(B))$

  • 任意矩阵A的秩要小等于A的增广矩阵$\overline{A}$,取$\overline{A}=(A,C)$
    • $r(A)⩽r(A,C)=r(C,A)$,
      • 矩阵$(A,C)和(C,A)$可以看作是初等列变换,初等变换都不改变矩阵的秩
    • 类似的:$r(C)⩽r(A,C)$
  • 由于$AB=C$,则矩阵$B$满足$AX=C$(该方程有解,且B就是一个解)
  • 根据上一条定理,$r(A)=r(A,C)$
    • 所以$r(C)⩽r(A,C)=r(A)$
  • $AB=C,则B^T{A}^T=C^T$,类似上述证明,可以得到$r(C^T)⩽r(B^T{C}^T)=r(B^T)$
    • 任意矩阵A满足$r(A^T)=r(A)$(转置不改变矩阵的秩)
    • $r(C)⩽r(B)$
  • 综上,$r(C)⩽r(A),同时r(C)⩽r(B)$,即$r(C)⩽min(r(A),r(B))$

向量组秩之间的关系

1. 向量$\beta$能由向量组A=${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$线性表示的充要条件是:
   • 矩阵$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m)$的秩等于矩阵$B=(A,\beta )=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m,\beta )$的秩.(即$r(A)=r(B)$)
     • 因为,线性方程组$Ax=\beta$具有非零解的充要条件是$r(A)=r(B)$,该方程组有解意味这$\beta$可以被向量组A线性表出
2. 向量组$\Phi =b_1,\cdots ,b_l$能由向量组$\Psi =a_1,\cdots ,a_m$线性表出的充要条件是矩阵$A=(\Phi )$的秩等于矩阵$B=(\Psi )$的秩,即$r(A)=r(A,B)$
   • 矩阵A能够被B线性表出,说明$A=BX,即BX=A$有解,这等价于$r(A)=r(A,B)$
     • 对$A,B,X$分块处理后,可分别视为$1\times m,1\times l,l\times m$的矩阵
     • X作为表出系数矩阵
   • 推论:向量组$\Phi$和$\Psi$等价的充要条件是:$r(A)=r(B)=r(A,B)$
     • 其中$A=(\Phi ),B=(\Psi )$
     • 证明:
       • 由于$\Phi ,\Psi$可以相互表出,则$A{X}_1=B,B{X}_2=A$都有解,从而$r(A)=r(A,B),r(B)=r(B,A)$
       • 又因为$r(A,B)=r(B,A)$
       • 从而$r(A)=r(B)=r(A,B)$
3. 设向量组B能够由向量组A线性表示,则$r(B)⩽r(A)$
   • 形象的理解该结论:B能够被其他矩阵(比如A)表示(代替掉),说明B的内涵(秩)不超过A
   • 证明:
     • 设$B=b_1,\cdots ,b_l$,$A=a_1,\cdots ,a_m$
       • 根据上下文语境,有时A,B指的是矩阵,有时指的是对应的向量组
     • 由于B可以被A表出,则$r(A)=r(B,A)$,(因为方程$AX=B$有解)
       • 又因为$r(B)⩽r(A,B)$(对任意矩阵成立)
       • 所以$r(B)⩽r(A,B)=r(A)$
     • 即$r(B)⩽r(A)$

小结

• 上述各定理之间的对应,其基础是向量组与矩阵的对应(线性方程组)
• 向量组B能有向量组A线性表示
  • $\iff$有矩阵K,使得$B=AK$
  • $\iff$方程$AX=B$有解

利用行(列)秩解决矩阵秩的问题

• 设$A,B$都是$m\times n$的矩阵,则$r(A+B)⩽r(A)+r(B)$

  • 运用三秩相等的结论
  • 可以用列秩表达$r_c(A+B)⩽r_c(A)+r_c(B)$
  • 记$C=A+B$,则C对应的列向量组可以被A,B的列向量组线性表示
  • 记$A,B$对应的列向量组分别为$\Phi ,\Psi$,各含有n个向量
  • 记$\Omega =\Phi \cup \Psi$,该向量组含有2n个列向量
  • $\Phi ,\Psi$的极大线性无关组分别记为${\Phi }_1,{\Psi }_1$,它们分别含有$r(A),r(B)$个列向量
    • $r({\Phi }_1)=r(A)$
    • $r({\Psi }_1)=r(B)$
  • $\Omega$和${\Omega }_1={\Phi }_1\cup {\Psi }_1$等价
    • 若${\Omega }_1$是线性相关的,说明${\Omega }_1$中仍然存在多余的向量(能够被${\Omega }_1$的极大无关组$\xi$所表示)
      • 此时$r(\xi )<r({\Phi }_1)+r({\Psi }_1)=r(A)+r(B)$
    • 若${\Omega }_1$线性无关,则$r(\xi )=r(A)+r(B)$
    • 综上$r(\xi )⩽r(A)+r(B)$
    • 且C可以被$\xi$线性表出($\xi$的某个线性组合可以得到C)
  • $r(C)⩽r(\xi )⩽r(A)+r(B)$
  • 即$r(C)⩽r(A)+r(B)$

• 设A为$m\times l$的矩阵,B为$l\times n$的矩阵,则:$r(AB)⩽min(r(A),r(B))$

  • 此结论前面已经证明过了

  • 下面是另一个版本

    • 记$C=AB$,则显然C可以同时由A,B各自线性表出
      • $A{X}_1=C$,
        • 方程组的解,即矩阵$X_1$是C关于A的表出系数
        • $r(C)⩽r(A)$
      • 对于$X_{2}B=C,有B^T{X}_2^T=C^T$
        • $r(C^T)⩽r(B^T)$
          • 转置不改变矩阵的秩
          • $r(C)⩽r(B)$
    • 从而$r(C)⩽r(A),r(C)⩽r(B)$
    • 即$r(C)⩽min(r(A),r(B))$

  • 罗嗦版

  • 设 A = ( α 1 , ⋯   , α l ) ( 分块矩阵形式 ) B = ( b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ b l 1 b l 2 ⋯ b l n ) = ( β 1 β 2 ⋮ β l ) C = A B = ∑ i = 1 l α i β i C = A B , c i = α i β i , C , c i 都为 m × n 的矩阵 C = ( ∑ i = 1 l α i b i 1 , ∑ i = 1 l α i b i 2 , ⋯   , ∑ i = 1 l α i b i n ) 由 c j = ∑ i = 1 l α i b i j , j = 1 , 2 , ⋯   , n 可见 C 可以由 A 线性表出 r ( C ) ⩽ r ( A ) 同理 r ( C ) ⩽ r ( B ) r ( C ) ⩽ m i n ( r ( A ) , r ( B ) ) 设A=(\alpha_1,\cdots,\alpha_l)(分块矩阵形式) \\ B=\begin{pmatrix} b_{11} &b_{12} &\cdots &b_{1n} \\ b_{21} &b_{22} &\cdots &b_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ b_{l1} &b_{l2} &\cdots &b_{ln} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \beta_{1} \\ \beta_{2} \\ \vdots \\ \beta_{l} \\ \end{pmatrix} \\ C=AB=\sum\limits_{i=1}^{l}\alpha_i\beta_i \\ C=AB,c_i=\alpha_i\beta_i, \\C,c_i都为m\times{n}的矩阵 \\C=(\sum\limits_{i=1}^{l}\alpha_ib_{i1}, \sum\limits_{i=1}^{l}\alpha_ib_{i2}, \cdots, \sum\limits_{i=1}^{l}\alpha_ib_{in} ) \\由c_j=\sum\limits_{i=1}^{l}\alpha_ib_{ij},j=1,2,\cdots,n \\可见C可以由A线性表出 \\r(C)\leqslant{r(A)} \\同理 \\r(C)\leqslant{r(B)} \\r(C)\leqslant{min(r(A),r(B))} 设A=(α1​,⋯,αl​)(分块矩阵形式)B= ​b11​b21​⋮bl1​​b12​b22​⋮bl2​​⋯⋯⋯​b1n​b2n​⋮bln​​ ​= ​β1​β2​⋮βl​​ ​C=AB=i=1∑l​αi​βi​C=AB,ci​=αi​βi​,C,ci​都为m×n的矩阵C=(i=1∑l​αi​bi1​,i=1∑l​αi​bi2​,⋯,i=1∑l​αi​bin​)由cj​=i=1∑l​αi​bij​,j=1,2,⋯,n可见C可以由A线性表出r(C)⩽r(A)同理r(C)⩽r(B)r(C)⩽min(r(A),r(B))