机器学习之数学

数学基础

1.导数和梯度

导数
根据高中知识可以知道，如果想求一个函数的最小值，我们可以对函数求导，导数为0的点，是函数在该点处切线斜率为0的点，是函数的驻点，但不一定为极值点，我们需要进一步比较驻点左右的值来筛选【符号相反】，比如y=x³，x=0的并不是函数的极值点。

但是以上知识仅限于二元简单函数，如果二元函数非常复杂，求导之后仍然不容易求解，或者是多元函数，我们就没法使用导数求出最小值。
例如：

二次函数.png

梯度
针对以上多元函数的情况，我们需要使用梯度寻找函数的最小值。
梯度的几何意义：
以平面函数f(x,y,z)为例,首先f(x,y,z)在某点(x0,y0,z0)处的梯度是一个向量,它的方向就是函数f(x,y)在该点函数值变化最快的方向,即方向导数最大的方向,它的模就等于该点方向导数的最大值.
梯度的代数求法：
一个函数对于其自变量分别求偏导数，这些偏导数所组成的向量就是函数的梯度。

代数求法.png

梯度找最小值原理
简答理解就是，二元函数求导数，一次导数筛选驻点，再利用二次导数找到极值点。
拓展到多元函数就是，一次梯度选驻点，再利用二次梯度找极值点。

梯度.png

一次梯度求出来表现为列向量，二次梯度表现为海森矩阵。

二元函数泰勒级数.png

多元函数泰勒级数.png

根据泰勒级数可知，令变化参数为负梯度，可以确定为函数减小最快的方式。

2.概率论

概率分布函数

概率分布函数.png

利用概率分部函数求区间[a,b]概率，就是F(a)-F(b)的值。
概率密度函数
概率密度函数就是概率分部函数微分之后的结果，图像表现如下：

概率密度函数.png

根据牛顿莱布尼茨公式，可知
概率密度函数求区间[a,b]概率，就是a-b围城面积的值。

两者本质互为微积分逆运算。

典型的概率密度函数就是正态分布：

正态分布.png

3.贝叶斯定理

含义
P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)。
其中P(A|B)的含义是：B发生的情况下，A的概率。
举例：
现分别有 A、B 两个容器，在容器 A 里分别有 7 个红球和 3 个白球，在容器 B 里有 1 个红球和 9 个白球，现已知从这两个容器里任意抽出了一个红球，问这个球来自容器 A 的概率是多少?
假设已经抽出红球为事件 B，选中容器 A 为事件 A，则有：P(B) = 8/20，P(A) = 1/2，P(B|A) = 7/10，按照公式，则有：P(A|B) = (7/10)(1/2) / (8/20) = 0.875
原理
利用条件概率推导，P(A∩B) = P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)。
意义
利用已知信息出现概率，推出未知信息可能发生概率。一般生活中，P(B|A)可能为已知条件，更容易计算，而P(A|B)不容易计算的情况。
例如：
一座别墅在过去的 20 年里一共发生过 2 次被盗，别墅的主人有一条狗，狗平均每周晚上叫 3 次，在盗贼入侵时狗叫的概率被估计为 0.9，问题是：在狗叫的时候发生入侵的概率
我们假设 A 事件为狗在晚上叫，B 为盗贼入侵，则以天为单位统计，P(A) = 3/7，P(B) = 2/(20365) = 2/7300，P(A|B) = 0.9，按照公式很容易得出结果：P(B|A) = 0.9(2/7300) / (3/7) = 0.00058

4.线性代数

基向量

房价面积数据.png

数据表示为：

二维图形.png

例如：

(3,2).png

当前坐标系的基地e1=(1,0) e2=(0,1)，比如(3,2)可以使用矩阵表示为
[1,0 * (3,2) T = (3,2)T
0,1]

就像我们图上面的，我说有一个向量（3，2），但是为什么这个向量是这样的表示呢？因为它在我们的做标系中，如果我把坐标系换了，它就不是（3，2）了。作为基，首先的一个前提就是要相互垂直，或者说内积为0，因为X和Y它们表达的分别是两种指标，我们不希望它们之间内部存在任何联系，所以必须让他们内积为0，这样就是各自独立的啦！
如果基底修改，对应(3,2)向量也会改变。

(3,2)改变.png

这样修改过后，二维空间的数就转成一维空间数，实现了降维，且数据特征尽可能不发生变化。所谓的降维就是要把我们的数据投影到最合适的基中。

修改基底.png

特征值和特征向量

特征值和特征向量.png

其中，A是变换矩阵，u是特征向量，λ是特征值。
u在A矩阵变化下，仍然满足新的λu与之前u共线，且只是伸缩性改变。
A矩阵变化，图像表现为对应参考系基向量的改变。

方差，协方差，协方差矩阵
方差（Variance）是度量一组数据的分散程度。方差是各个样本与样本均值的差的平方和的均值：

方差.png

协方差（Covariance）是度量两个变量的变动的同步程度，也就是度量两个变量线性相关性程度。如果两个变量的协方差为0，则统计学上认为二者线性无关。注意两个无关的变量并非完全独立，只是没有线性相关性而已。计算公式如下：

协方差.png

假设有一个矩阵：

矩阵.png

然后我们用X乘以X的转置，并乘上系数1/m：

协方差矩阵.png

这个矩阵对角线上的两个元素分别是两个字段的方差，而其它元素是a和b的协方差。两者被统一到了一个矩阵的。根据矩阵相乘的运算法则，这个结论很容易被推广到一般情况：
设我们有m个n维数据记录，将其按列排成n乘m的矩阵X，设C=1mXXT，则C是一个对称矩阵，其对角线分别个各个字段的方差，而第i行j列和j行i列元素相同，表示i和j两个字段的协方差。

PCA降维
目标：
设有m条n维数据，目标是变成k维数据(k 过程：
1）将原始数据按列组成n行m列矩阵X
2）将X的每一行（代表一个属性字段）进行零均值化，即减去这一行的均值
3）求出协方差矩阵

3.png

4）求出协方差矩阵的特征值及对应的特征向量
5）将特征向量按对应特征值大小从上到下按行排列成矩阵，取前k行组成矩阵P
6）Y=PX即为降维到k维后的数据

例子：

矩阵.png

对其进行0均值化处理：

0均值化.png

求协方差矩阵：

协方差矩阵.png

求解后特征值为：

特征值.png

对特征值分解后按照特征值大小排序，取前多少个。通过特征值排列 ，我们可以得到数据在这些特征向量上的分布和多样性。
其对应的特征向量分别是：

特征向量.png

其中对应的特征向量分别是一个通解，c1和c2可取任意实数。那么标准化后的特征向量为：

标准化.png

因此我们的矩阵P是：

矩阵P.png

可最后我们用P的第一行乘以数据矩阵，就得到了降维后的表示：

降维后.png

5.损失函数

训练学习的目的就是尽可能最小化损失函数，最常见两种损失函数为hinge loss和softmax

1.hinge loss

定义
对于训练集中第i张图片的数据xi，在w权重下对应目标值为f(xi,w)，在该样本的损失下我们用公式表示为

hinge loss.png

比如：
我们现在有三个目标类别【猪，狗，猫】，f(xi,w)计算结果为[13,-7,11]，而实际结果是第一类猪，我们使用公式假定阈值量为10
把错误类别遍历求和得到
L=max(0,-7-13+10)+max(0,11-13+10)>0，说明有权重偏差较小，和真是值太近。
添加正则后的求N个目标值平均损失函数的公式为【防止overfitting】

正则后.png

例如有3个目标值，求出平均损失为

3个.png

意义
给定一个阈值，使得错误量和正确量之间差距大于该阈值，如果小于，则需要再次更新和学习。

2.softmax

定义

softmax.png

又称归一化函数，Softmax是用于分类过程，用来实现多分类的，简单来说，它把一些输出的神经元映射到（0-1）之间的实数，并且归一化保证和为1，从而使得多分类的概率之和也刚好为1。
假如有3类目标值，理想情况下目标值[1,0,0]
我们的预测输出结果为[-3,1.5,2.7]，我们要利用softmax把这个值映射到(0,1)上，且概率相加为1。
第一步：
y1 = exp(x1) = exp(-3) = 0.05
y2 = exp(x2) = exp(1.5) = 4.48
y3 = exp(x3) = exp(2.7) = 14.88
第二步：
z1 = y1/(y1+y2+y3) = 0.05/(0.05+4.48+14.88) = 0.0026
z2 = y2/(y1+y2+y3) = 4.48/(0.05+4.48+14.88) = 0.2308
z3 = y3/(y1+y2+y3) = 14.88/(0.05+4.48+14.88) = 0.7666
那么，
[-3,1.5,2.7]->[0.0026,0.2308,0.7666]

然后，我们使用交叉熵公式计算

交叉熵.png

例如：

例子.png

意义
同hinge loss比较而言，hinge loss 会在满足阈值之后停止学习，而对于softmax，基本很难达到真正和理想情况一模一样，所以需要设置参数，达到要求停止；但是不管hinge loss还是softmax都是同向反应损失的函数。

6.梯度下降和反向传播

0.基础概念

梯度下降的核心
多元函数(损失函数)求最小值的方法，比较好用的就是使用梯度下降，找到梯度[各个方向上求偏导，本质是一个向量]接近0的函数的位置。
梯度：是一个矢量，其方向上的方向导数最大，其大小正好是此最大方向导数。
梯度下降：不断求出权重w关于损失函数C的梯度(偏导数)，不断更新，直到权重w关于函数C梯度接近0，就找到此时损失函数最小值时对应权重w的值。

反向传播的核心
链式法则[借助中间变量]：

链式法则.png

例如.png

正向：f(x,y,z)=(-2+5)-4=-12
反向：令q=x+y，想求出f(x,y,z)关于x的偏导数，先求f(x,y,z)关于q的偏导数=z=-4，再求f(q)关于x的偏导数=1，根据链式法则 f(x,y,z)关于x的偏导就是-41=-4

Sigmoid
Sigmoid导数可以用自身表示。

Sigmoid函数.png

神经网络中的正向和反向

正反.png