Jordan标准型

〇、多项式（小学知识）

1、多项式的次数

设其中，则，注意零多项式是没有次数或无穷次的，零次多项式就是非零常数多项式，即。

2、带余除法

若，则其中或，且和唯一。

3、质因式分解

设，则其中是上的质因式。
在上，有两种。
在，只有一种不可约因式，（代数基本定理）

4、最大公因式和最小公倍式

5、辗转相除法（欧几里得算法）

一、-矩阵

多项式矩阵就是以多项式为元素的矩阵。，其中多项式的未定元是，比如。

以为未定元的多项式作为的矩阵的元素，记作。
也可以这么记，矩阵。
还可以从映射的角度看：

还可以从以矩阵为系数的多项式角度看待：

有了矩阵，就有了一些概念

Rank

Rank：不为零多项式的子式的最大阶数。
子式就是行列式，但是在行列式计算中，只用到了加减乘，没有用到除法，所以即使多项式集合不是Field，而是Ring，也可以进行行列式计算，且结果还是多项式。

幺模阵

Unimodular: 设，且
一个矩阵的逆矩阵，这里就会有点问题，行列式在多项式范围内结果还是多项式，伴随矩阵（Adjoint）中代数余子式还是多项式，可是这里出现了除法。可是算出来就不一定是多项式矩阵，而上面的定义要求多项式矩阵的逆矩阵还是多项式矩阵，这样的矩阵才是幺模阵。这里就是Ring和Field的区别。

Theorem：如果是幺模阵，那么一定是非零常值多项式。
Proof：“”，如果是常值多项式，那么则也一定是多项式矩阵。
“”，由于是幺模阵，则，使得，将等式两边取行列式，得到上面第一个推导是存疑的，需要严格考察证明，因为在我们学习线性代数时，都是在数域上考虑，而这里是多项式范围内，是环，所以需要严格的证明该性质是正确的，简单考虑下如果该等式证明只需要用到加减乘三种运算，那么该性质在多项式范围内仍然适用。最后得到，两个多项式乘积为常数，要证明他们都是零次常值多项式，可以使用反证法，假设的次数为，的次数为，则的次数应该是，矛盾。所以是零次常值多项式。证毕

-矩阵的初等变换

两行互换
把某行乘以非0常数（似乎应该乘以多项式？）
把某一行乘以一个多项式加到零一行

在多项式的运算系统中，不可逆。两行互换可以回去，再换一次就行了；把一行乘以一个多项式加另一行，也可以回去，减去那一行乘以多项式就好了。而在第二条，想要回去势必要除法，多项式的不满足除法封闭的。
初等行变换可以利用左乘初等矩阵实现。（列就是右乘）

二、Smith标准型

多项式矩阵经过行列初等变换后，化简可以到什么程度？

-矩阵等价

设等价，即可以进行若干次初等变换变换到矩阵。记作

引理：多项式矩阵，当，且至少有一个元素不能被整除，则，且，表示多项式的次数。

Proof：分类讨论，设
$\boldsymbol{A}(\lambda)=\left[\begin{matrix} a_{11}(\lambda) & \cdots &a_{1j}(\lambda) &\cdots\\ \vdots & \ddots & \vdots & \\a_{i1}(\lambda) & \cdots & a_{ij}(\lambda) & \cdots \\ \vdots & &\vdots&\ddots \end{matrix}\right]$
有一个元素不能被整除，这个元素位置分为三种情况：

和在同一行，假设就是，，也就是说，这就是多项式的带余除法，此时，那么将第一列乘以加到第列，此时变为了，再将第列和第互换，就实现了降次的目的。
和在同一列，假设就是，和第一种情况类似。
和既不在一行也不在一列，假设就是

主要来研究第三种情况，第三种情况下，由此，我可以把第一行除了以外全都变成0，第一列也是同样的道理。在这个过程中，虽然经过了一些变换，但是始终是加减的倍数，所以还是不能被整除。好了那么我们现在可以把原来的矩阵变成这样：

此时只需要将第行加到第1行上即变成第一种情形，也可以达到降次的目的，证毕。

Smith标准型

任意一个的-矩阵，一定可以通过初等变换变换成：，其中，；为非0多项式，且。
Proof：假设，满足。根据引理，我们一定可以降次，但是次数是有限的，不能降次时就能整除其他所有元素。那么就一定可以得到如下的形式且在能整除所有中的所有元素。接下来可以用数学归纳法进行如法炮制证明。假设是一个零矩阵，证明完毕，如果不是就继续和之前一样就好了。在将进行初等变换过程中，依然保持了能被整除。
唯一性问题：在初等变换过程中，每个人的做法不同，那么最终的结果是一样的吗？这里的唯一指的是是monic polynomial，即首项为1的多项式。

-矩阵的行列式因子

设，则的所有阶子式的最大公因式称为的阶行列式因子。设阶子式是一个多项式的集合，则，这么多个多项式们的最高公因式就是行列式因子。
设怎么求它们的最高公因式呢？我们将两个多项式中的质因式互相地补全，次数为0就OK了，然后取它们共同的质因式的最低次乘起来就得到了最高公因式，最小公倍式类似。

Theorem：初等变换不改变阶行列式因子。
Proof：只要讨论三种初等变换了，且第一种和第二种都不值得讨论了，还是很容易理解和证明的。交换两行行列式只相差符号。设两个矩阵和的阶子式集合为和。
考虑：从集合中取出是将矩阵的第行乘以加到第行上去，当选择的阶子式不包含行，那么阶子式中。
当包含第行且含有第行，此时。根据行列式的性质可知。
当包含第行，不包含第行，行列式有个性质就是可以按照某一行拆开（大一时老师一再强调只能拆一行） $|\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_i+\boldsymbol{\beta}_i,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n|= |\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_i,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n|+|\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_i,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n|$ 所以此时，就是一个阶子式，只是原来第行的位置换成了第行。所以，那么中所有的多项式的公因式一定整除。
总结一下，中任意一个多项式都可以被中的多项式的公因式整除，反过来亦然，因为初等变换是可逆的，两者结合，得到初等变换不改变-矩阵的阶行列式因子。

不变因子

证明：是矩阵的rank。。其中是矩阵的阶行列式因子。
Proof：计算等价两侧的矩阵的各阶行列式因子。利用数学归纳法

当左边=时，右边所有的子式的集合为，那么第一个就是最高公因式，所以。如法炮制即可。将每一阶都算出来，再反过来解出来就行。

求Smith型

例：求
Simth标准型
通过行列式因子求不变因子就可以求得Simth标准型。
先来看下基本的方法，初等变换：
$\left[ \begin{matrix} \lambda(\lambda+1) & 0 &0 \\0 & \lambda & 0\\0&0&(\lambda+1)^2 \end{matrix} \right]\sim \left[ \begin{matrix} \lambda & 0 &0 \\0 & \lambda(\lambda+1) & 0\\0&0&(\lambda+1)^2 \end{matrix} \right] \sim \left[ \begin{matrix} \lambda & 0 &(\lambda+1)^2 \\0 & \lambda(\lambda+1) & 0\\0&0&(\lambda+1)^2 \end{matrix} \right] \sim \cdots$ 这里就点到为止，只要你契而不舍的做下去就好了。
$\left[ \begin{matrix} \lambda(\lambda+1) & 0 &0 \\0 & \lambda & 0\\0&0&(\lambda+1)^2 \end{matrix} \right]\sim \left[ \begin{matrix} 1 & 0 &0 \\0 & \lambda(\lambda+1) & 0\\0&0&\lambda(\lambda+1)^2 \end{matrix} \right]$
用行列式因子计算（并不好算）
那么就可以算了。

Theorem：幺模阵可以写成初等矩阵的乘积。
幺模阵的Smith型是单位矩阵。
证明不是很难，这里就不进行证明，虽然和以前的矩阵类似，但是不要想当然，需要严格证明。

三、特征矩阵

设矩阵， $\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}=\left[ \begin{matrix} \lambda-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\-a_{21}&\lambda-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\-a_{n1}&-a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{nn} \end{matrix} \right]$

矩阵相似和多项式矩阵等价

矩阵和矩阵相似，则

则有，即存在和，使得

多项式矩阵的次数

设-矩阵，其中，则。零矩阵的多项式次数无意义。

多项式矩阵乘积的次数

设，，其中，若，即，其中可逆，则

多项式矩阵的带余除法

其中，要么除尽，即，要么除不尽，
要注意，这个是有条件的，要求可逆。

继续证明相似和特征矩阵的等价
“”：这个方向比较简单，我们只要取就可以了，数值矩阵首先肯定是多项式矩阵，其次由于矩阵可逆，所以它的行列式不为0，但是是常数，所以满足幺模阵的充要条件。
“”：这里就要用到上面介绍的定理。
先用下除法：
则或者，且，总之是常值矩阵，记为，代入得 $[(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})\boldsymbol{Q}(\lambda)+\boldsymbol{R}](\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})\boldsymbol{V}^{-1}(\lambda)\\ \Rightarrow \boldsymbol{R}(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})[\boldsymbol{V}^{-1}(\lambda)-\boldsymbol{Q}(\lambda)(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})]$ 根据上面的次数规律，左边最高是1次，所以右边的必须是常值矩阵，记为。所以，再比较系数可以得到，我们现在要或是可逆矩阵。
由于是幺模阵，所以其逆矩阵也是多项式矩阵，再做一次除法，这次我们除以， $\boldsymbol{U}^{-1}(\lambda)=(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}) \tilde{\boldsymbol{Q}}(\lambda)+\tilde{\boldsymbol{R}}(\lambda)\\ \Rightarrow \boldsymbol{U}(\lambda)\boldsymbol{U}^{-1}(\lambda)=[(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})\boldsymbol{Q}(\lambda)+\boldsymbol{R}(\lambda)][(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}) \tilde{\boldsymbol{Q}}(\lambda)+\tilde{\boldsymbol{R}}(\lambda)]=\boldsymbol{I}\\ \Rightarrow \boldsymbol{I}-(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})\boldsymbol{Q}(\lambda)\boldsymbol{U}^{-1}(\lambda)=\boldsymbol{R}(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})\tilde{\boldsymbol{Q}(\lambda)}+\boldsymbol{R}\tilde{\boldsymbol{R}}$ 用替换，得到将这个公式看作一个带余除法，把当除数（它有资格），也可以使用次数比较都可以推出：大功告成！普通数域上矩阵的相似问题，转换成其特征矩阵的等价问题。

研究特征矩阵的Smith标准型问题

特征矩阵一定有个不变因子，就是说它的Smith标准型是摆满的，但是一定会有许多个1。不妨假设在中有个非常数不变因子，记为，设，有（小学生的知识），这时我们重新组合下特征矩阵：对非常数不变因子进行质因式分解。

四、Jordon标准型（在上）

我们来考虑上述变换后的一个子块：，其中有个初等因子。总的次数是，所以。

$\left[ \begin{matrix} 1\\&\ddots\\&&1\\&&&h_i(\lambda) \end{matrix} \right]\rightarrow\left[ \begin{matrix} 1 \\ & \ddots\\ &&(\lambda-c_1)^{r_1}\\ & & & \ddots\\ & & & &1\\ & & & & &\ddots\\& & & & & &(\lambda-c_k)^{r_k} \end{matrix} \right]$ 记其中一个块为：

Jordan块的Smith型

$\lambda\boldsymbol{I}_{r_i}-\left[ \begin{matrix} c_i&1\\&c_i&1\\&&\ddots&\ddots\\&&& c_i \end{matrix} \right]_{r_i\times r_i}\sim\left[ \begin{matrix} 1\\& \ddots\\ & & 1\\& & & (\lambda-c_1)^{r_i} \end{matrix} \right]$ 证明两个多项式矩阵等价。自己证明，还是挺简单的。
Theorem：设矩阵，且，取则相似于其中称为的Jordan标准型。

五、复数域上矩阵特征结构

设，且，则有对矩阵进行分块，，