BRDF及相关理论

学习下面这篇文章所做的笔记：
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辐射度学基础

• 能量：单位焦耳 J。

• 功率：表示单位时间内通过表面或者空间区域的能量的总量，也称辐射通量，单位瓦特 W 或 J / s。

• 辐照度：表示单位时间内到达单位面积的辐射能量，单位 W / m²；
  辐出度：表示单位时间内离开单位面积的辐射能量，单位 W / m²。

• 辐射强度：表示每单位立体角的辐射通量，单位 W / sr。
  在总能量不衰减的情况下，辐照度随距离衰减，而辐射强度不随距离衰减，因为随着距离的增加角度是不变的。

• 辐射率：表示每单位面积每单位立体角的辐射通量，单位 W / m² sr。

辐射率可以看成是我们眼睛看到或相机拍到的物体上某一点的颜色。在基于物理着色时，计算表面一点的颜色就是计算它的辐射率。

辐射率不会随距离变化而衰减（颜色并不会随距离变化而变化）。这是因为随着距离变大，辐照度变小，同时这块区域在视网膜上的立体角也会变小，相互抵消。

球坐标系定义方向

球坐标系使用两个角度来确定一个方向：

1. 方向相对法线的角度 θ，称为极角（Polar Angle）或天顶角（Zenith Angle）；

2. 方向在平面上的投影相对于平面上一个坐标轴的角度 φ，称为方位角（Azimuthal Angle）。

球坐标系

所以BRDF也可以表示成 f (θ_i, φ_i, θ_o, φ_o)。对于各向同性材质，当 I 和 v 同时绕法线旋转时，f 值保持不变，此时可以用 I 和 v 在平面投影的夹角 φ 来代替 φ_i 和 φ_o。

BRDF的定义

BRDF表示指定方向的反射光和入射光的比例关系，BRDF应该算是一个定义或者概念，而不是什么具体的模型或计算方法。定义为：

其中，
l 表示入射光方向，v 表示观察方向，也就是我们关心的反射光方向；
L_o(v) 表示所有入射光线经表面反射到 v 方向的辐射率；
d L_o(v) 表示 l 方向的入射光线经表面反射到 v 方向的辐射率；
E 表示所有入射光线到达表面的辐照度；
d E(l) 表示 l 方向的入射光线到达表面的辐照度。

注意：分子是辐射率，分母是辐照度。

根据辐射率和辐照度的定义：

因此：

根据BRDF的定义：

这里的⊕代表分RGB三个通道相乘。那么：

上式称为反射方程（Reflectance Equation）。将上述公式的角度变为向量表示，就是之前提到过的渲染方程的后半部分。

微表面理论

之前书中简单介绍过微表面理论，这里想补充的是之前书中提到的微平面分布函数，在这篇文章中称为法线分布函数（NDF），记作 D(h)。

法线分布函数用来描述组成表面一点的所有微表面的法线分布概率（微平面是比点还小的单位）。

可以这样理解：向NDF输入一个朝向 h，NDF会返回法线朝向是 h 的微表面数占微表面总数的比例。虽然实际并不是这样，但是可以暂时这样理解。

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图片来自 孙无力