HDU1402 A * B Problem Plus 快速傅里叶变换FFT
看了算法导论（第2版）第30章的《多项式与快速傅里叶变换》
多项式有系数表示法和点值表示法。
两个次数界为n的多项式A（x）和B（x）相乘，输入输出均采用系数表示法。（假定n为2的幂）
1）使次数界增加一倍：A（x）和B（x）扩充为次数界为2n的多项式，并构造起系数表示
2）求值：两次应用2n阶FFT，计算出A（x）和B（x）的长度为2n的点值表示
3）点乘：计算多项式C(x)=A（x）*B（x）的点值表示
4）插值：对2n个点值对应用一次FFT计算出其逆DFT，就可以构造出多项式C（x）的系数表示
第1步和第3步需要时间为O(n)，第2步和第4步运用FFT需要时间为O(nlgn)。
第2步求取n个点的值所需时间为O(n^2)，如果我们巧妙地选取x（k）则其运行时间变为O(nlgn)，FFT主要利用了单位复根（w^n=1的w就是n次单位复根，他们是e^(2PI*k/n),k=0,1,……n-1）的特殊性质。
用FFT做SPOJ235竟然TLE，传说要用NTT（数论变换number theoretic transform），有待提高ing
| Accepted | 1402 | 375MS | 6740K | 3099 B |
#include
<
iostream
>
#include
<
cmath
>
using
namespace
std;
const
double
PI
=
acos(
-
1.0
);
struct
vir{
double
re,im;
//
实部和虚部
vir(
double
a
=
0
,
double
b
=
0
){
re
=
a; im
=
b;
}
vir
operator
+
(
const
vir
&
b){
return
vir(re
+
b.re,im
+
b.im);
}
vir
operator
-
(
const
vir
&
b){
return
vir(re
-
b.re, im
-
b.im);
}
vir
operator
*
(
const
vir
&
b){
return
vir(re
*
b.re
-
im
*
b.im , re
*
b.im
+
im
*
b.re);
}
};
vir x1[
200005
],x2[
200005
];
void
change(vir
*
x,
int
len,
int
loglen)
{
int
i,j,k,t;
for
(i
=
0
;i
<
len;i
++
)
{
t
=
i;
for
(j
=
k
=
0
; j
<
loglen; j
++
,t
>>=
1
)
k
=
(k
<<
1
)
|
(t
&
1
);
if
(k
<
i){
vir wt
=
x[k];
x[k]
=
x[i];
x[i]
=
wt;
}
}
}
void
fft(vir
*
x,
int
len,
int
loglen)
{
int
i,j,t,s,e;
change(x,len,loglen);
t
=
1
;
for
(i
=
0
;i
<
loglen;i
++
,t
<<=
1
)
{
s
=
0
; e
=
s
+
t;
while
(s
<
len)
{
vir a,b,wo(cos(PI
/
t),sin(PI
/
t)),wn(
1
,
0
);
for
(j
=
s;j
<
s
+
t;j
++
)
{
a
=
x[j]; b
=
x[j
+
t]
*
wn;
x[j]
=
a
+
b; x[j
+
t]
=
a
-
b;
wn
=
wn
*
wo;
}
s
=
e
+
t; e
=
s
+
t;
}
}
}
void
dit_fft(vir
*
x,
int
len,
int
loglen)
{
int
i,j,s,e,t
=
1
<<
loglen;
for
(i
=
0
;i
<
loglen;i
++
)
{
t
>>=
1
;
s
=
0
; e
=
s
+
t;
while
(s
<
len)
{
vir a,b,wn(
1
,
0
),wo(cos(PI
/
t),
-
sin(PI
/
t));
for
(j
=
s;j
<
s
+
t;j
++
)
{
a
=
x[j]
+
x[j
+
t]; b
=
(x[j]
-
x[j
+
t])
*
wn;
x[j]
=
a; x[j
+
t]
=
b;
wn
=
wn
*
wo;
}
s
=
e
+
t; e
=
s
+
t;
}
}
change(x,len,loglen);
for
(i
=
0
;i
<
len;i
++
)
x[i].re
/=
len;
}
int
main()
{
char
a[
100005
],b[
100005
];
int
i,len1,len2,len,loglen;
int
t,over;
while
(scanf(
"
%s%s
"
,a,b)
!=
EOF)
{
len1
=
strlen(a)
<<
1
;
len2
=
strlen(b)
<<
1
;
len
=
1
;
loglen
=
0
;
while
(len
<
len1)
len
<<=
1
, loglen
++
;
while
(len
<
len2)
len
<<=
1
, loglen
++
;
//
init
for
(i
=
0
;a[i];i
++
)
x1[i].re
=
a[i]
-
'
0
'
, x1[i].im
=
0
;
for
(;i
<
len;i
++
)
x1[i].re
=
x1[i].im
=
0
;
for
(i
=
0
;b[i];i
++
)
x2[i].re
=
b[i]
-
'
0
'
, x2[i].im
=
0
;
for
(;i
<
len;i
++
)
x2[i].re
=
x2[i].im
=
0
;
fft(x1,len,loglen);
fft(x2,len,loglen);
for
(i
=
0
;i
<
len;i
++
)
x1[i]
=
x1[i]
*
x2[i];
dit_fft(x1,len,loglen);
//
将x1.re从浮点数转化为十进制整型存入a
for
(i
=
(len1
+
len2)
/
2
-
2
,over
=
len
=
0
;i
>=
0
;i
--
)
{
t
=
x1[i].re
+
over
+
0.5
;
a[len
++
]
=
t
%
10
;
over
=
t
/
10
;
}
while
(over){
a[len
++
]
=
over
%
10
;
over
/=
10
;
}
//
output
for
(len
--
;len
>=
0
&&!
a[len];len
--
);
if
(len
<
0
)
putchar(
'
0
'
);
else
for
(;len
>=
0
;len
--
)
putchar(a[len]
+
'
0
'
);
putchar(
'
\n
'
);
}
return
0
;
}