贪心算法

贪心算法：

在对问题求解时，总做出当前看来最好的选择，即求“目光短浅”的局部最优，是一种近似最优解，而不是从整体考虑。

 

        有时我们也可以尝试使用穷举法，但是当问题规模较大时，穷举法就会显得很浪费资源。所以转而使用贪心算法。

        贪心算法是指当一个问题可以分解成若干个子问题时，每个子问题的求解，都选择局部解最优解。然后将子问题的局部最优解合成原问题的解。

举个栗子：

     

        现有5元、2元、1元、5角、2角、1角的硬币，需要找给顾客4元6角现金，利用贪心算法，设(贪心选择性质)为每次都选择所有面值中不超过每次还需要的现金的最大面值。得：第一次2元，还需2元6角；第二次2元，还需6角；第三次5角，还需1角；第四次1角。以上四次子问题的的求解均满足，4张零钱共4元6角，解决的初始原问题。

        好啦，我们来从头看一遍这个问题：第一步：共把一个问题分成了四个子问题。第二步：对每一次挑出的零钱做选择。第三步：所有挑出零钱的结果合成最优解。

（涉及概念）：

        【候选解集C】：问题的可能解，问题的最终解都取自于候选解集C。[本例中相当于总的6种面值的零钱。]

        【解集S】：每一步形成的解的集合，虽贪心选择的进行，S不断扩展，最终构成满足问题的完整解。[本例是这样变化的{2}-->{2，2}-->{2，2，0.5}-->{2，2，0.5，0.1}。]

       【解决函数solution】：检查解集是否构成问题完整解。[本例2+2+0.5+0.1=4.6。]

        【选择函数select】：（即贪心策略）与目标函数有关，指出哪个问题最有希望构成问题的解。[本例每次选择零钱中面值最大的硬币。]

        【可行函数feasible】：一个解集种加入一候选对象后，查看是否满足约束条件。[本例每次选择的和之前解集中的相加，不超过应找零钱。]

抽象来看，求解步骤即为：

        ① 分解：将原问题分解为若干相互独立的阶段。

        ② 求解：对于每个阶段求局部最优解，即进行贪心选择。在每个阶段，选择一旦做出就不可更改。做出贪心选择的依据称为贪心准则。贪心准则的制定是用贪心算法解决最优化问题的关键，它关系到问题能否得到成功解决及解决质量的高低。

        ③ 合并：将各个阶段的解合并为原问题的一个可行解。

算法特性：

        通过分步决策，每步都形成局部解，利用这些局部解来构成问题的最终解；如果要求最终的解是最优解，每步的解必须是当前步骤的最优解。从问题的某一个初始解来逐步逼近给定的目标，以尽可能快地求得最优解。

        当然，如果我们把面值换一下，如继续上面的问题，若我们需要照给顾客四角，①我们就不能保证用贪心算法解得的答案是问题的最优解。②可以看出贪心算法求解的每一步只看当前是否满足局部最优解，而不考虑在后面看来这些选择是否合理做过的决定并不会因为后续问题而改变，无回溯过程属于自顶向下求解。

        最优子结构性质（问题最优解特性）：当一个问题的最优解包含子问题最优解时，称该问题具有最优子结构特性。

设计模式：

```

Greedy(A,n)   

{

A[0:n-1]包含n个输入；

 将解向量solution初始化为空；

    for(i=0;i

    {                   

x=select(A);                   //从问题的某一初始解出发

       if(feasiable(solution,x))       

solution=union(solution,x)；//部分解空间进行合并

 }

return（解向量solution）；

}

```

优缺点：

        优点：算法简单，求解速度快，时间空间复杂度低。

        缺点：需要证明要求的问题的解是最优解。

：

        给定n种物品和一个容量为C的背包，物品i重量是wi，其价值为vi，背包问题是如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？

（1）0/1背包问题：要么装入，要么不装入。

（2）一般背包问题：物品是可以分割的，可将物品部分装入背包中。

最好的贪心策略是选择单位重量价值最大的物品。

时间复杂度为O（nlogn）

        有一批集装箱要装上一艘载重量为c的轮船。其中集装箱i的重量为wi。最优装载问题要求确定在装载体积不受限制的情况下，将尽可能多的集装箱装上轮船。

最好的贪心策略是选择最轻先装。

计算时间O（nlogn）

        设有n个独立的作业10,1，…，m1}，由m台相同的机器{M。.M1，…，M1}进行加工处理，作业i所需的处理时间为t（0≤ism1），每个作业均可在一台机器上加工处理，但不可间断、拆分。多机调度问题（ Multi-Machine Scheduling Problem）要求给出一种作业调度方案，使所给的n个作业在尽可能短的时间内由m台机器加工处理完成。

最好的贪心策略是选择最长处理时间作业优先，把处理时间最长的作业分配给最先空闲的机器，保证处理时间长的作业优先处理，整体上获得尽可能短的处理时间。

时间复杂度：当m<

        设有n个活动的集合E={1,2，…，n}，其中每个活动都要求使用同一资源（如演讲会场），而在同一时间内只有一个活动能使用这一资源。每个活动都有个要求使用该资源的起始时间si和一个结束时间fi,且si=fj或sj<=fi时，活动i与活动j相容。活动安排问题要求在所给的活动集合中选出最大的相容活动子集。

最好的贪心策略是选择最早结束时间，这样使下一个活动今早开始。

算法效率：

        若输入进去的活动按时间已排好顺序，则时间复杂度为O（n）；

        若输入进去的活动未按时间已排好顺序，则时间复杂度为O（nlogn）；【排序消耗】

时间复杂度：O（n²）

TSP问题：旅行商问题，即TSP问题（Traveling Salesman Problem）又译为旅行推销员问题、货郎担问题，是数学领域中著名问题之一。假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。

（1）

最近邻点贪心策略所得结果不一定是最优解。

时间复杂度：O（n²）

（2）

时间复杂度：

    最短边顺序查找O（n²）

    选取最短边操作：O(nlog2 n)

（与最短连接相似）

prim算法（边稠密）：

最近顶点策略：

时间复杂度：O（n²）

克鲁斯卡尔算法（边稀疏）：

最短边策略：

时间复杂度：O（elog2 e）

e为无向连通图中边的个数。

贪心法求解图着色问题可能但不能保证找到一个最优解。

https://blog.csdn.net/qq_41289920/article/details/83582478

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