这里其实我们要说的是感知器算法。
之所以要把感知器算法(Perceptron Learning Algorithm)放在这里,是因为这两个算法在形式上的相似性。
我们在logistic回归中,考虑到二分类问题,其输出标记y∈(0,1),而线性回归模型产生的预测值 H(x)=wTx+b 是实值,于是我们需要将实值 H(x) 转化为0/1值。最理想的是“单位阶跃函数”(unit-step function)。最后我们用对数几率函数(Logistic functino)作为 g(.) 替代了“单位阶跃函数”得到了logistic回归函数。
hθ(x)=11+e(wTx)
当我们把对数几率函数(Logistic functino)替换为 sign 函数时,我们就得到了一个二元线性分类器——感知器。
g(z)={10if z≥0if z < 0
此时,另 hθ(x)=g(θTx)
参数更新规则:
θjnew=θjold−α(hθ(x(i))-y(i))x(i)j,
到这里,我们就已经有了完整的感知器学习算法。
我们可以看到,这里的参数更新规则实际上跟logistic随机梯度下降的参数更新规则是一致的。
细心一点可以看出,其实 θTx=0 在1维空间中代表一个点,在2维空间中代表一条直线,在3维空间中代表一个平面。
以2维空间为例:
对于所有满足 θTx<0 的x,将落在直线一边的区域中(下图中的蓝色).对于所有满足 θTx>0 的x,将落在直线另一边的区域中(下图中的红色).
Perceptron Learning Algorithm的目的是要找到一个perceptron,能把正确地把不同类别的点区分开来。在二维平面上,任何找一条直线都可以用来做perceptron,只不过有些perceptron分类能力比较好(分错的少),有些perceptron分类能力比较差(分错的多)。
自然,Perceptron Learning Algorithm需要找到一个好的perceptron。
Perceptron Learning要做的是,在“线性可分”的前提下,至少存在一个perceptron,可以做到百分百的正确率,对于任意的 (yi,xi) ,有 hθ(xi)=yi 。
我们把完美的Perceptron记作:
PLA的方法如下:
PLA的 costfunction(x)=−∑错误分类的索引集合iyi(θxi+b)
为了简化我们之后的论证过程,在这里做出小改动:
1. 我们将负样本标记为-1
2. 基于1的改动,我们也需要把g(.)函数替换为:
sign(z)={1−1if z≥0if z < 0
3. 基于以上,我们需要变动参数的更新法则:
极小化cost function的梯度是对w和b求偏导,即:
∇θcostfunction=−∑yixi∇bcostfunction=−∑yi
这样,我们只需要对每个错分类的样本进行下面的更新即可:
θjnew=θjold+yix(j)i,
For(t=0,1,...) ,t 表示第t次更新——第t次遍历数据集
xi 表示第 i 个样本,循环遍历整个训练集
如果yi(t)≠sign(θTxi(t)),则
我们知道在数据线性可分的前提下,我们心目中有个完美的 θbest
,它能够完美的把圈圈和叉叉区分开来。那么如何证明PLA能够使
θ 不断接近 θbest 呢?
这里就要用到夹角余弦的公式,如果令t表示 θ 的更新次数,
θt 更新之后的 θi+1 与 θbest 之间的夹角余弦变大(夹角变小)了,则我们可以认为PLA是有效的。
2. 下面证明在数据线性可分时,简单的感知机算法会收敛。
初始时 θ0=0 ,每次遇见错误数据才会更新。
看起来 θt 更接近 θbest 了,但他们内积的增大并不能表示他们夹角的变小。也可能是 |θt| 变大了。
证:
根据上述的性质,我们可以求算 θbest 与 θt 的夹角的余弦值,从 θ0 开始,经过t次错误更正,变成 θt 。
1≥θbestθt|θbest||θt|≥t√*const常数
上面的不等式告诉我们两点:
当数据线性不可分时(存在噪音),简单的PLA 算法显然无法收敛。我们要讨论的是如何得到近似的结果。即寻找 θg 使错误分类的数据尽可能得少。
与简单PLA 的区别:迭代有限次数(提前设定);随机地寻找分错的数据(而不是循环遍历);只有当新得到的 θ 比之前得到的最好的 θg 还要好时,才更新 θg (这里的好指的是分出来的错误更少)。
由于计算 θ 后要和之前的 θg 比较错误率来决定是否更新 θg , 所以pocket algorithm 比简单的PLA 方法要低效。
https://www.douban.com/note/319669984/
http://www.tuicool.com/articles/eeame2