线性代数 05.07 用合同变换法化二次型为标准形

§第五章第七节用合同变换法化二次型为标准形 

定义10.若对方阵A作一次初等行变换,接着对所得矩阵作一次同种的初等列变换,就称对A进行一次合同变换. 
用合同变换法化二次型为标准形的实质是:利用可逆线性变换x=Cy,把f=x T Ax化为标准形,即f=x T Ax=(Cy) T ACy=y T C T ACy=y T Λy只需C T AC=Λ.又因C=P 1 P 2 ⋯P s ,其中P 1 ,P 2 ,⋯,P s 均为初等方阵.所以(P 1 P 2 ⋯P s ) T AP 1 P 2 ⋯P s =Λ即P T s ⋯P T 2 P T 1 AP 1 P 2 ⋯P s =Λ(1)而P T s ⋯P T 2 P T 1 =P T s ⋯P T 2 P T 1 E=C T (2)结合(1)和(2),得出将Λ化成对角矩阵,同时求出可逆矩阵C: 
(A|E)A合同变换⟶E作行变换 (Λ|C T ) 
求出C T ,作可逆线性变换x=Cy,则该变换将f化为标准形.f=k 1 y 2 1 +k 2 y 2 2 +⋯+k r y 2 r . 

例3.利用合同变换将f=2x 1 x 2 +2x 1 x 3 −2x 1 x 4 −2x 2 x 3 +2x 2 x 4 +2x 3 x 4 化为标准形,并写出所用的可逆线性变换. 
解:(A|E)=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 011−1 10−11 1−101 −1110 1000 0100 0010 0001 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 111−1 10−11 0−101 0110 1000 1100 0010 0001 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 2100 10−11 0−101 0110 1000 1100 0010 0001 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 2200 10−11 0−201 0210 1000 1200 0010 0001 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 2200 20−22 0−201 0210 1000 1200 0010 0001 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 2000 2−2−22 0−201 0210 1−100 1100 0010 0001 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 2000 0−2−22 0−201 0210 1−100 1100 0010 0001 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 2000 0−202 0−221 02−10 1−110 11−10 0010 0001 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 2000 0−202 002−1 02−10 1−110 11−10 0010 0001 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 2000 0−200 002−1 02−12 1−11−1 11−11 0010 0001 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 2000 0−200 002−1 00−12 1−11−1 11−11 0010 0001 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 2000 0−200 002−2 00−28 1−11−2 11−12 0010 0002 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 2000 0−200 0020 0006 1−11−1 11−11 0011 0002 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 于是,求得:C T =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1−11−1 11−11 0011 0002 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ,C=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1100 −1100 1−110 −1112 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 作可逆变换x=Cy,即⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ x 1 x 2 x 3 x 4  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1100 −1100 1−110 −1112 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ y 1 y 2 y 3 y 4  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ,把f化成标准形:f=2y 2 1 −2y 2 2 +2y 2 3 +6y 2 4 . 

例4.设二次型f=4x 2 1 +3x 2 2 +3x 2 3 +2x 2 x 3 1)用正交变换化f为标准形;2)用配方法化f为标准形;3)用合同法化f为标准形. 
解:1)用正交变换化f为标准形.①把f写成矩阵形式:f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=⎛ ⎝ ⎜ 400 031 013 ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ y 1 y 2 y 3  ⎞ ⎠ ⎟ ②通过|A−λE|=0,求A的全部特征值.|A−λE|=∣ ∣ ∣ ∣ 4−λ00 03−λ1 013−λ ∣ ∣ ∣ ∣ =(4−λ)[(3−λ) 2 −1]=−(λ−2)(λ−4) 2 =0解得A的特征值为:λ 1 =2,λ 2 =λ 3 =4.③通过(A−λE)x=0,求A的特征向量.当λ 1 =2时，(A−2E)x=0,由A−2E=⎛ ⎝ ⎜ 200 011 011 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 010 010 ⎞ ⎠ ⎟ 解得基础解系ξ 1 =⎛ ⎝ ⎜ 0−11 ⎞ ⎠ ⎟ ,单位化p 1 =12  √  ⎛ ⎝ ⎜ 0−11 ⎞ ⎠ ⎟ 当λ 2 =λ 3 =4时,(A−4E)x=0,由A−4E=⎛ ⎝ ⎜ 000 0−11 01−1 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 000 010 0−10 ⎞ ⎠ ⎟ 解得基础解系:ξ 2 =⎛ ⎝ ⎜ 100 ⎞ ⎠ ⎟ ,ξ 3 =⎛ ⎝ ⎜ 011 ⎞ ⎠ ⎟ ,因为ξ 2 与ξ 3 正交,直接单位化得:p 1 =⎛ ⎝ ⎜ 100 ⎞ ⎠ ⎟ ,p 2 =12  √  ⎛ ⎝ ⎜ 011 ⎞ ⎠ ⎟ ,④把p 1 ,p 2 ,p 3 拼成正交变换矩阵P,作正交变换x=Py,即P=(p 1 ,p 2 ,p 3  )=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 0−12  √  12  √   100 012  √  12  √   ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ x 1 x 2 x 3  ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 0−12  √  12  √   100 012  √  12  √   ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ y 1 y 2 y 3  ⎞ ⎠ ⎟ ⑤把f化为标准形:f=2y 2 1 +4y 2 2 +4y 2 3 2)用配方法化f为标准形f=4x 2 1 +3x 2 2 +3x 2 3 +2x 2 x 3 =4x 2 1 +2(x 2 +x 3 ) 2 +(x 2 −x 3 ) 2  
令⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ y 1 =x 1 y 2 =x 2 +x 3 y 3 =x 2 −x 3   
即⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x 1 =y 1 x 2 =12 y 2 +12 y 3 x 3 =12 y 2 −12 y 3   
即(x 1  x 2  x 3  )=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 100 012 12  012 −12  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ y 1 y 2 y 3  ⎞ ⎠ ⎟ f为标准形为:f=4y 2 1 +2y 2 2 +y 2 3 3)用合同法化f为标准形.(A|E)=⎛ ⎝ ⎜ 400 031 013 100 010 001 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 400 033 019 100 010 003 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 400 033 0327 100 010 003 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 400 030 0324 100 01−1 003 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 400 030 0024 100 01−1 003 ⎞ ⎠ ⎟ 于是,得A=⎛ ⎝ ⎜ 400 030 0024 ⎞ ⎠ ⎟ C T =⎛ ⎝ ⎜ 100 01−1 003 ⎞ ⎠ ⎟ ,C=⎛ ⎝ ⎜ 100 010 0−13 ⎞ ⎠ ⎟ ,从而c=Cy,即⎛ ⎝ ⎜ x 1 x 2 x 3  ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ 100 010 0−13 ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ y 1 y 2 y 3  ⎞ ⎠ ⎟ ,则该变换将f化成标准形为:f=4y 2 1 +3y 2 2 +24y 2 3