动态规划求解投资最优问题

1. 问题

• 一般性描述：

  • 设 $m$ 元钱，$n$ 项投资项目，函数 $f_i$ 表示将 $x$ 元投入第i项项目所产生的效益，$i=1,2，\cdot \cdot \cdot ，n$
    问：如何分配这 $m$ 元钱，使得投资总效益最高？

• 组合优化问题：

  • 假设分配给第i个项目的钱数是 $x_i$
  • 目标函数：$max(f_1(x_1)+f_2(x_2)+\cdot \cdot \cdot +fn(x_n))$
  • 约束条件：$x_1+x_2+x_3+\cdot \cdot \cdot +x_n=m,xi\in n$

2. 解析

给定投资效益表$（m=5,n=4）$：

投资 $x$ 元	效益 $f_1(x)$元	$f_2(x)$	$f_3(x)$	$f_4(x)$
0	0	0	0	0
1	11	0	2	20
2	12	5	10	21
3	13	10	30	22
4	14	15	32	23
5	15	20	40	24

手动推算结果：

• 设 $F_k(x)$ 表示 $x$ 元投资给前 $k$ 个项目的最大收益， $k\in [1,2,...,n]$

• $x_k(y)$ 表示 $y$ 元投资给第 $k$ 个项目，$k\in [1,2,...,n]$

投资$X$	$F_1(x)$	$x_1(x)$	$F_2(x)$	$x_2(x)$	$F_3(x)$	$x_3(x)$	$F_4(x)$	$x_4(x)$
1	11	1	11	0	11	0	20	1
2	12	2	12	0	13	1	31	1
3	13	3	16	2	30	3	33	1
4	14	4	21	3	41	3	50	1
5	15	5	26	4	43	4	61	1

• 黄色区域为选择最优结果，分别投资项目1、项目3和项目4以1元、3元、1元可得最大收益61。

3. 设计

动态规划求解投资问题：

#include
using namespace std;
const int N = 1e3+10;

int n,m,x;
int f[N][N],F[N][N];

void run() {
	cin>>n>>m;
	for (int j=0;j<=m;j++) {
		for (int i=1;i<=n;i++) {
			cin>>f[i][j];
		}
	}
    //枚举投资
	for (int i=1;i<=n;i++) {
        //枚举前i个共分配j元
		for (int j=0;j<=m;j++) {
            //枚举第i个投资投资k元
			for (int k=0;k<=j;k++) {
				F[i][j] = max(F[i][j],F[i-1][j-k] + f[i][k]);
			}
		}
	}
	printf("mx = %d\n",F[n][m]);
}

int main() {
	run();
	return 0;
}

/*
4 5
0 0 0 0 
11 0 2 20
12 5 10 21
13 10 30 22
14 15 32 23
15 20 40 24

*/

4. 分析

• $F_k(x)=max(f_k(x_k)+F_{k-1}(x-x_k))$

• $xi\in [0,...,x]$ 共x+1项，$f_k(x_k)+F_{k-1}(x-x_k)$ 有x+1项，因此有x+1次加，x次比较大小

• 加法 ${\sum }_{k=2}^n{\sum }_{x=1}^m(x+1)=\frac{(n-1)\ast m\ast (m+3)}{2}$

• 比较 ${\sum }_{k=2}^n{\sum }_{x=1}^{m}x=\frac{(n-1)\ast m\ast (m+1)}{2}$

• $T(n,m)=O(n\ast m^2)$

5. 源码

https://github.com/a894985555/Algorithm/tree/main/%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%E6%8A%95%E8%B5%84%E9%97%AE%E9%A2%98