高中奥数 2022-03-24

2022-03-24-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P067 习题01）

已知,且,,.求证:

证明

若不然,由于,不妨设,,.由得,而,则,矛盾!

2022-03-24-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P067 习题02）

求证:下列不等式组无实数解

证明

反设存在实数、、、满足不等式组,则两边平方后可得:




从而有,矛盾!

2022-03-24-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P067 习题03）

设实数、、、、、满足:

求证:.

证明

如果,,故.矛盾!

2022-03-24-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P067 习题04）

设、、为正实数,且,求证:

证明

若,则,,.

故,矛盾!

2022-03-24-05

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P067 习题05）

设、是上的实值函数.求证:存在,使得

证明

用反证法,若不然,则对一切,都有:,分别取、、、,有:,,,.

因此,

矛盾!