数量关系

常用方法

方程

设——列——解——答

- 设未知数：直接法，间接法

- 列方程，找等量关系

- 解方程：普通方程、不定方程

不定方程解法：

1、特值法：设某一未知数为0

例：已知3x+7y+z=32，4x+10y+z=43。设y=0，解得x=11，z=-1。

2、交换系数

例：已知3x+7y+z=32①，4x+10y+z=43②。①3，②2，解得x+y+z=10。

3、奇偶属性

偶数偶数=偶数；

奇数奇数=偶数；

偶数奇数=奇数；

偶数奇数=偶数；

偶数偶数=偶数；

奇数奇数=奇数。

4、质数：又叫素数，在大于0的自然数中，除了1以外和它本身不再有其他因数的数。20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19

5、整数

6、尾数法

7、代入排除

特值

- 含义：为了简化计算吧未知量用特殊值表示

- 核心：不设未知数，而设单位1

- 常见应用：存在M=AB关系，且对应量未知

比例

- 含义：数量之间的对比关系

- 核心：份数思想

- 比例化简：分母是自己的，分子式别人的 。例：A=B，A:B=（31）：（24）=3:8

- 比例统一：找中间量

- 比例转换：正反比，存在M=AB关系中，M一定时，A与B成反比；A或B一定时，M与另一个量成正比。反比的本质是倒数之比。

- 比例计算：每份所对应的实际量

盈亏

- 含义：多的量与少的量保持平衡

- 核心：多的量=少的量

- 常见应用：平均数、比值混合

比值混合

比值混合

1、第一列的差等于第三列的和

2、后三列比值相等

3、第三列由前两列交叉作差得到

线段法（资料分析同适用）

20%的溶液Xg与35%的溶液Yg混合为26%的溶液

20%X+35%Y=26%（X+Y）

思想：

1、混合居中

2、（35%-26%）Y=（26%-20%）X，其中（35%-26%）和（26%-20%）为距离，X与Y为量，，距离与量成反比关系。

---

常考题型

整除

- 概念：整除153=5，除尽154=3.75，整除是小范围，除尽是大范围。

- 核心：根据题干所给的数字特征排除其他选项

- 常见数字的整除判定

1、局部看：能被2、5整除的看末一位；能被4、25整除的看末两位；能被8、125整除的看末三位。

2、整体看：

①能被3、9整除的数，各位数字之和能被3、9整除。弃3弃9法，逢3、9加和划掉。

②如果一个数能被1001整除，则能同时被7、11、13整除。

3、合数：大于1的自然数，除了1和它本身还有其他的约数

4、分解质因数，分解的两个数一定互质

- 应用环境

1、文字描述含有每、平均、倍数时

2、数据体现：分数、百分数、比例

计算问题

等差数列

- 通项公式

=+(n-1)d

=+(n-m)d

d为公差

- 求和公式

==n

- 中项求和

奇数项

偶数项

等比数列

- 通项公式

- 求和公式

公倍数公约数

- 倍数和最小公倍数，约数和最大公约数（短除法，分解质因数）

周期循环

闰年（366天）：一般年份除以4，整百年份除以400

平年（365天）

行程问题

- 基本公式：=；

- 常用解题方法：图解法、特值法、比例法

-常考考点

直线相遇

直线追及

极值问题

- 和定最值

1、含义：在和一定的前提下求某个量的最大值或最小值

2、题型特征：求最多/少、最大/小、至多/少

3、解题原则：求某个量最小/大值，让其他量尽可能大/小

4、考点：正向极值、逆向极值、混合极值

- 最不利原则

1、问法：至少...才能保证

2、解题原则：距离成功一步之遥，排除其他可能，最不利+1

不说保证就是最有利

排列组合

-两个计数原理

1、加法原理：完成一件事情分为几个类别，每一类方法数加和

2、乘法原理：完成一件事情分为几个步骤，每一步方法数相乘

区别：分类相加，分步相乘

- 排列组合

1、排列：从n个元素中，选出m个元素，按一定顺序排成一排，用A表示，

2、组合：从n个元素中选出m个元素，组成组合，用C表示，

3、常用方法：

（1）优先法：特殊元素优先排列

（2）捆绑法：将需要相邻的元素看做整体（相邻、连续）

（3）插空法：优先排列不相邻元素进行插空（不相邻、不连续）

（4）间接法：正难则反，正面解题困难时，从反面角度考虑问题

（5）隔板法：相同元素分几堆，没堆至少一个，n个元素分成m堆

概率问题

- 古典概率

1、概念：表示事件发生可能性大小的量度

2、特征：有限性、等可能性

3、计算公式：

4、方法：枚举法、排列组合、间接法（至少）

- 独立重复实验

1、概念：在相同的条件下重复实验，每次概率相同

2、特征：实验相互独立，互不影响，实验有两种情况，要么发生，要么不发生

3、计算公式：

几何问题

- 平面几何

1、三角形：周长=a+b+c，面积=（h为高）

直角三角形：（a、b为两个直角边）

相似三角形：，

2、长方形：周长=，面积=

3、正方形：周长=4a，面积=

4、梯形：周长=上底+下底+腰，面积=（h为高）

5、菱形：周长=4a，面积=对角线乘积

6、圆：周长=，面积=

7、扇形：周长=，面积=

-立体几何

1、正方体：表面积=，体积=

2、长方体：表面积=2(ab+ac+bc)，体积=abc

3、圆柱：表面积=，体积=

4、圆锥：表面积=，体积=

5、球：表面积=，体积=

6、正四面体：表面积=各个面的面积之和，体积=

容斥问题