【动态规划】01背包问题（手画图解）

        经典dp动规问题，01背包问题关键在于遍历顺序与初始化这两步的推导。

目录

文章目录

一、01背包问题

二、确定dp数组及其下标含义

三、确定递推公式

四、确定初始化

 五、确定遍历顺序

六、举例推导dp数组

总结

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一、01背包问题

        有n件物品，每件的价值与重量限制了背包所能装的总价值，每件物品只有一个，求所能装的最大价值。

二、确定dp数组及其下标含义

        dp[i][j]代表的是：

        从0-i的物品中选，放入容量为j的背包中所得的最大价值。

三、确定递推公式

        现态dp[i][j]有两种情况：容量j够放物品 + 容量j不够放物品 。

        显而易见的是：

        ①当不够放物品时，背包中的价值并不会增加，仍然停留在拿取上一个物品（i-1）的总价值（dp[i-1][j] + 0）上； 

        ②当还能放得下物品时，就需要判断放了这个物品和不放这两种情况谁获得的最终价值更大；

                1.放第i件物品价值大时：需要在容量（j - weight[i]）上减去所放进去的第i件物品的重量，价值（上一件物品留下的价值：dp[i-1][j]）上加上第i件物品的价值（dp[i-1][j] + value[i]）。

                        第1点综合起来便是：dp[i-1][j - weight[i]] + value[i];

                2.不放第i件物品价值大时：与①的情况相同，都是没有将第i件物品放进去。

                                第2点便是：dp[i][j] = dp[i-1][j];

图解如下图： 

 

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四、确定初始化

        由递推公式可知：每一行（i）的数据都是由上一行（[i-1][j]或者[i-1][j-weight[i]]）得到的，也即：每一元素数据的来源是上方或者是左上方，所以我们需要得到最上方一行的初始化数据与最左边一行的数据。

         题外话：当然，这是从科学的角度进行的思考，如果不这么严谨的话，我们至少可以得到：当容量为0时，所获总价值一定为0（背包放不下东西）。

        首先从背包容量进行考虑：

        ①当容量为0时，所获总价值一定为0（背包放不下东西）；

        ②当容量能够放得下物品[0,0]（j >= weight[0] = 1）时，可以得到的最大价值就是value[0]（15）；

图解如下：

 五、确定遍历顺序

        由递推公式可知：

        我们需要得到上一行的数据即可进行递推。

        ①从左到右，从上到下；②或者从上到下， 然后从左到右；两种遍历顺序都可以得到所求数据上一行的所有数据，都可以进行递推。

图解如下： 

 

六、举例推导dp数组

图解如下：  

        

 

七、代码实现

#include 
#include 
using namespace std;

void BagSolution()
{
	vector value = { 15,20,30 };
	vector weight = { 1,3,4 };
	int bagWeight = 4;
	// 列多出来容量为0的那列
	vector > dp(weight.size(), vector (bagWeight + 1, 0));
	// 初始化--容量为0所能放的价值一定为0
	for (int i = 0; i < weight.size(); i++)
	{
		dp[i][0] = 0;
	}
	// 当容量能放下下标为0物品（最小重量）时，最大价值就是value[0]
	for (int j = 0; j <= bagWeight; j++)
	{
		if (j >= weight[0])
		{
			dp[0][j] = value[0];
		}
	}
	//确定遍历顺序
	for (int i = 1; i < weight.size(); i++)
	{
		for (int j = 1; j <= bagWeight; j++)
		{
			// 容量不够放,第i件物品就不放
			if (j < weight[i])
			{
				dp[i][j] = dp[i - 1][j];
			}
			// 够放->比较拿了大还是不拿大
			else
			{
				dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
			}
		}
	}
	// 打印dp
	for (int i = 0; i < weight.size(); i++)
	{
		for (int j = 0; j <= bagWeight; j++)
		{
			printf("%2d ", dp[i][j]);
		}
		cout << endl;
	}
}

int main()
{
	BagSolution();
	return 0;
}

运行截图：

 

总结

        01背包问题是所有背包问题的根本所在，掌握好dp五部曲，明确dp及其下标含义，勤加练习是制胜之道！