转换矩阵、平移矩阵、旋转矩阵关系以及python实现旋转矩阵、四元数、欧拉角之间转换

由于在平时总是或多或少的遇到平移旋转的问题，每次都是现查资料，然后查了忘，忘了继续查，这次弄明白之后干脆写一篇文章，给人方便同时于己方便，后续如有扩充或变动也方便添加。

1. 转换矩阵、平移矩阵、旋转矩阵之间的关系

假设有两个向量$a_1=(x_1,y_1,z_1)$和$a_2=(x_2,y_2,z_2)$，它们的转换关系为：

$$a_1=R\ast a_2+T$$
这里$R$就是它的旋转矩阵，$T$就是它的平移矩阵。使用齐次方式表示如下：

$$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}R& T\\ 0& 1\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{c}{a}_2\\ 1\end{array}\right)$$
使用元素值替换后，表示如下：
( x 1 y 1 z 1 1 ) = ( r 11 r 12 r 13 t 1 r 21 r 22 r 23 t 2 r 31 r 32 r 33 t 3 0 0 0 1 ) ∗ ( x 2 y 3 z 2 1 ) \begin{pmatrix} x_1\\y_1\\z_1\\1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} r_{11}&r_{12}&r_{13}&t_{1}\\ r_{21}&r_{22}&r_{23}&t_{2}\\ r_{31}&r_{32}&r_{33}&t_{3}\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} x_2\\y_3\\z_2\\1 \end{pmatrix} ​x1​y1​z1​1​ ​= ​r11​r21​r31​0​r12​r22​r32​0​r13​r23​r33​0​t1​t2​t3​1​ ​∗ ​x2​y3​z2​1​ ​
在仿射变换中的转换矩阵表示先线性变换再平移。在这里转换矩阵表示如下：
转换矩阵 = ( r 11 r 12 r 13 t 1 r 21 r 22 r 23 t 2 r 31 r 32 r 33 t 3 0 0 0 1 ) 转换矩阵= \begin{pmatrix} r_{11}&r_{12}&r_{13}&t_{1}\\ r_{21}&r_{22}&r_{23}&t_{2}\\ r_{31}&r_{32}&r_{33}&t_{3}\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} 转换矩阵= ​r11​r21​r31​0​r12​r22​r32​0​r13​r23​r33​0​t1​t2​t3​1​ ​
平移矩阵表示如下：
平移矩阵 T = ( t 1 t 2 t 3 ) 平移矩阵T=\begin{pmatrix} t_{1}\\ t_{2}\\ t_{3}\\ \end{pmatrix} 平移矩阵T= ​t1​t2​t3​​ ​
旋转矩阵表示如下：
旋转矩阵 R = ( r 11 r 12 r 13 r 21 r 22 r 23 r 31 r 32 r 33 ) 旋转矩阵R=\begin{pmatrix} r_{11}&r_{12}&r_{13}\\ r_{21}&r_{22}&r_{23}\\ r_{31}&r_{32}&r_{33} \end{pmatrix} 旋转矩阵R= ​r11​r21​r31​​r12​r22​r32​​r13​r23​r33​​ ​

2. 缩放变换、平移变换和旋转变换

如果理解以上知识点之后，缩放变换、平移变换和旋转变换的特殊情况也迎刃而解。

• 缩放变换

缩放变换只是在尺度上进行改变，所以它的变换形式如下：

• 平移变换

平移变换的时候，角度不发生改变，也就是旋转矩阵R为单位矩阵，所以它的变换形式如下：

• 旋转变换

当空间内的物体绕着 x 轴，y 轴或者 z 轴旋转的时候，变换矩阵为：

对于一般性的旋转问题，可以用简单的旋转描述复杂的旋转。用 x 轴，y 轴和 z 轴上的旋转来定义旋转：

这三个角就被称作欧拉角（Euler angles）。

2. python实现旋转矩阵、四元数、欧拉角互相转化

在应用中，我们往往会遇到旋转矩阵、四元数和欧拉角之间的互相转换，在这里，我们只使用python代码来实现它们之间互相转换。

from scipy.spatial.transform import Rotation as R

def quaternion2euler(quaternion):
    r = R.from_quat(quaternion)
    euler = r.as_euler('xyz', degrees=True)
    return euler

def euler2quaternion(euler):
    r = R.from_euler('xyz', euler, degrees=True)
    quaternion = r.as_quat()
    return quaternion

def euler2rotation(euler):
    r = R.from_euler('xyz', euler, degrees=True)
    rotation_matrix = r.as_matrix()
    return rotation_matrix

def quaternion2rotation_matrix(quaternion):
    r = R.from_quat(quaternion)
    rotation_matrix = r.as_matrix()
    return rotation_matrix

def rotation_matrix2euler(rotation_matrix):
    r = R.from_matrix(rotation_matrix)
    euler = r.as_euler('xyz', degrees=True)
    return euler
    

def rotation_matrix2quaternion(rotation_matrix):
    r = R.from_matrix(rotation_matrix)
    quaternion = r.as_quat()
    return quaternion

if __name__ == '__main__':
    # 四元数=>欧拉角
    quaternion = [0.71934025092983234, -1.876085535681999e-06, -3.274841213980097e-08, -0.69465790385533299]
    euler = quaternion2euler(quaternion) # [-9.20000743e+01  1.52039496e-04 -1.52039496e-04]
    print(f'euler: {euler}')
    
    # 四元数=>旋转矩阵
    rotation_matrix = quaternion2rotation_matrix(quaternion)
    print(f'rotation_matrix: {rotation_matrix}')
    
    # 欧拉角=>四元数
    quaternion = euler2quaternion(euler)
    print(f'quaternion: {quaternion}') # [-7.19340251e-01  1.87608554e-06  3.27484122e-08  6.94657904e-01]
    
    # 欧拉角=>旋转矩阵
    rotation_matrix = euler2rotation(euler)
    print(f'rotation_matrix: {rotation_matrix}')
    
    # 旋转矩阵=>欧拉角
    euler = rotation_matrix2euler(rotation_matrix)
    print(f'euler: {euler}')
    
    # 旋转矩阵=>四元数
    quaternion = rotation_matrix2quaternion(rotation_matrix)
    print(f'quaternion: {quaternion}')