R语言贝叶斯MCMC：用rstan建立线性回归模型分析汽车数据和可视化诊断

最近我们被客户要求撰写关于贝叶斯MCMC的研究报告，包括一些图形和统计输出。

本文将谈论Stan以及如何在R中使用rstan创建Stan模型。尽管Stan提供了使用其编程语言的文档和带有例子的用户指南，但对于初学者来说，这可能是很难理解的。

视频：线性回归中的贝叶斯推断与R语言预测工人工资数据案例

贝叶斯推断线性回归与R语言预测工人工资数据

，时长09:58

Stan

Stan是一种用于指定统计模型的编程语言。它最常被用作贝叶斯分析的MCMC采样器。马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）是一种抽样方法，允许你在不知道分布的所有数学属性的情况下估计一个概率分布。它在贝叶斯推断中特别有用，因为后验分布往往不能写成表达式。要使用Stan，用户要写一个Stan程序，代表他们的统计模型。这个程序指定了模型中的参数和目标后验密度。Stan代码被编译并与数据一起运行，输出一组参数的后验模拟。Stan与最流行的数据分析语言，如R、Python、shell、MATLAB、Julia和Stata的接口。我们将专注于在R中使用Stan。

rstan

rstan允许R用户实现贝叶斯模型。你可以使用熟悉的公式和data.frame语法（如lm()）来拟合模型。通过为常用的模型类型提供预编译的stan代码来实现这种更简单的语法。它使用起来很方便，但只限于特定的 "常用 "模型类型。如果你需要拟合不同的模型类型，那么你需要自己用rstan编码。

模型拟合函数以前缀stan_开始，以模型类型结束。建模函数有两个必要的参数。

- 公式。一个指定因变量和自变量的公式（y ~ x1 + x2）。
- data。一个包含公式中变量的数据框。

此外，还有一个可选的先验参数，它允许你改变默认的先验分布。

stan()函数读取和编译你的stan代码，并在你的数据集上拟合模型。

stan()函数有两个必要参数。
- 文件。包含你的Stan程序的.stan文件的路径。

- data。一个命名的列表，提供模型的数据。
 

例子

作为一个简单的例子来演示如何在这些包中指定一个模型，我们将使用汽车数据来拟合一个线性回归模型。我们的因变量是mpg，所有其他变量是自变量。

mtcars %>%
  head()

首先，我们将拟合模型。对于线性回归，我们使用stan函数。 

summary(fit)

输出显示参数摘要，包括平均值、标准差和量值。此外，它还显示了MCMC的诊断统计Rhat和有效样本量。这些统计数据对于评估MCMC算法是否收敛非常重要。

接下来，我们将用rstan来拟合同一个模型。下面是我们模型的stan代码，保存在一个名为stan的文件中（你可以在RStudio中创建一个.stan文件，或者使用任何文本编辑器，并保存扩展名为.stan的文件）。

数据
  int N;   // 观测值的数量
  int K;   // 预测的数量
  matrix[N, K] X;   // 预测矩阵
...
参数
  real alpha;           // 截距
...
模型
  y ~ normal(alpha + X * beta, sigma);  // 目标密度

Stan代码在 "程序块 "中结构化。每个Stan模型都需要三个程序块，即数据、参数和模型。

数据块是用来声明作为数据读入的变量的。在我们的例子中，我们有结果向量（y）和预测矩阵（X）。当把矩阵或向量声明为一个变量时，你需要同时指定对象的维度。因此，我们还将读出观测值的数量（N）和预测器的数量（K）。

在参数块中声明的变量是将被Stan采样的变量。在线性回归的情况下，感兴趣的参数是截距项（alpha）和预测因子的系数（beta）。此外，还有误差项，sigma。

模型区块是定义变量概率声明的地方。在这里，我们指定目标变量具有正态分布，其平均值为α+X*β，标准差为sigma。在这个块中，你还可以指定参数的先验分布。默认情况下，参数被赋予平坦的（非信息性）先验。

此外，还有一些可选的程序块：函数、转换的数据、转换的参数和生成的数量。

接下来，我们需要以Stan程序所期望的方式来格式化我们的数据。stan()函数要求将数据作为一个命名的列表传入，其中的元素是你在数据块中定义的变量。对于这个程序，我们创建一个元素为N、K、X和Y的列表。

list(
    N = 32,
    K = 10,
    X = predictors,
    y = mpg
  )

现在我们已经准备好了我们的代码和数据，我们把它们传给函数来拟合模型。

fit_rstan

输出类似的汇总统计数据，包括每个参数的平均值、标准偏差和量值。这些结果可能相似但不完全相同。它们之所以不同，是因为统计数据是根据后验的随机抽样来计算的。

评估收敛性

当使用MCMC拟合一个模型时，检查链是否收敛是很重要的。我们推荐可视化来直观地检查MCMC的诊断结果。我们将创建轨迹图，Rhat值图。

首先，让我们创建轨迹图。轨迹图显示了MCMC迭代过程中参数的采样值。如果模型已经收敛，那么轨迹图应该看起来像一个围绕平均值的随机散点。如果链在参数空间中蜿蜒，或者链收敛到不同的值，那就证明有问题了。我们来演示。 

  mcmctrace()

这些轨迹图表明，两个模型都已经收敛了。对于所有的参数，四条链都是混合的，没有明显的趋势。

接下来，我们将检查Rhat值。Rhat是一种收敛诊断方法，它比较了各条链的参数估计值。如果链已经收敛并且混合良好，那么Rhat值应该接近1。如果链没有收敛到相同的值，那么Rhat值将大于1。Rhat值为1.05或更高，表明存在收敛问题。rhat()函数需要一个Rhat值的向量作为输入，所以我们首先提取Rhat值。

 rhat()  +
  yaxis_text()

所有的Rhat值都低于1.05，说明没有收敛问题。

Stan是一个建立贝叶斯模型的强大工具，这些包使R用户可以很容易地使用Stan。

---