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2022-01-04-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 最小数原理与无穷递降法 P017 例7）
求所有的整数,使得它的任何大于1的因数可以表示为的形式,这里、,.
解
设是所有满足条件的正整数组成的集合,则对任意,,的每个大于1的因数都具有的形式,这里、,.
由上可知,对任意,存在、,、,使得.我们设的这种表示中是最小的,即不存在、,,使得.这时,必为偶数(若否,设为奇数,则,于是,可表示为的形式,导致,与的最小矛盾).所以,中的每个大于1的元素都可表示为,的形式.
下面来求的每个元素.
如果为素数,那么是具有形式的素数.
如果为合数,分两种情况讨论:
(1)若为奇合数,则存在奇素数、,使得、、,此时,应存在、、,满足
这里还可设.于是,故,由为奇素数,知或,总有,导致,矛盾.
(2)若为偶合数,注意到,结合前面的讨论,可知只能是的形式,这里为奇素数.此时、,于是,存在、,使得
得,所以,.进而,又,故,得,,,.即中只有一个偶合数10.
综上可知,任意,是形如的素数或10,而这样的具有题中的性质是显然的,所以.
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2022-01-04-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 最小数原理与无穷递降法 P018 例8）
桌子上有两堆硬币,已知这两堆硬币的总重量相同,并且对任意正整数(这里不超过每堆硬币的个数),第一堆硬币中最重的枚硬币的重量之和不超过第二堆中最重的枚硬币的重量之和.证明:对任意正实数,若将两堆硬币中每一枚重量不小于的硬币都用重量为的硬币替换,则完成此操作后,第一堆的总重量不比第二堆轻.
证明
我们用排序原理来处理.
设第一堆硬币的重量依次为;第二堆硬币的重量依次为.则由条件知,对任意,都有.
对任意,设,.要证明:
显然,当或不存在时(注意,由条件知,若不存在则也不存在),不等式(1)可由得到.下面考虑与都存在的情形.
记,则(1)等价于
如果,那么
不等式(2)获证.
如果,那么(2)等价于
由条件,我们有
所以,(3)成立综上可知,命题成立.