引论

写在前面
引论部分作为第零章，主要包括算法和误差两个部分，内容相对简单，记住概念即可。

一些概念

数值分析：研究科学计算中各种数学问题求解的数值计算方法。
解析解：是指通过严格的公式所求得的解。
数值解：是指采用某种计算方法,如有限元的方法，数值逼近,插值的方法，得到的解。
精确解和近似解：精确解和近似解是从算法上决定的。计算的结果与模型的真实值的误差是否为零，如果为零，则是精确解；如算法本身不能保证得到真实值，则是近似解。
收敛性：它与有确定的(或有限的)极限同义，“收敛于……”相当于说“极限是……(确定的点或有限的数)”。
稳定性：是指算法对于计算过程中的误差（舍入误差、截断误知差等）不敏感,即稳定的算法能得到原问题的相邻问题的精确解。

0.1 算法

• 数值分析中研究的算法是我为电子计算机提供的算法。
• 描述算法通常用框图直观地显示算法的全貌。
• 所有算法框图都均以开始框标志计算过程开始启动, 而用结束框表示计算过程的最终结束 .另外, 我们将用箭头→指明各框执行的顺序 .
• 算法的核心部分是计算公式

二分法的算法框图

0.2 误差

常见的误差

• 截断误差： 需要将解题
  方案加工成算术运算与逻辑运算的有限序列。即截取结果的一部分作为近似解而产生的误差。
• 舍入误差：将机器代码表示的数据必须舍入成一定的位数，类似四舍五入。
• 模型误差：从实际问题中抽象出数学模型的过程产生的误差。
• 观测误差：通过测量和实验得到的模型中各种数据的过程产生的误差。

误差限：误差的一个上界，即误差最大能取多少可以满足要求。这种上界ε称作近似值 x 的绝对误差限,简称误差限, 或称精度。
相对误差：考察自身的前提下刻画近似值的精度。仍以x代表 x* 的近似值,若

则称ε为近似数 x 的相对误差限。
有效数字：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，且该位到x*的第一位非零数字共有n位，则称x*有n位有效数字。

例:Π = 3.14159265·····，近似值x1=3.14，x2=3.1416，x3=3.1415
则x1，x2，x3分别有 3位，5位，4位有效数字。

例：根据四舍五入写出下面具有5位有效数字的近似值，187.9325，0.03785551，8.000033
答：187.93，0.037856，8.0000

有效数字和绝对误差的关系：

标准浮点数表示的有效数字

例：为了使x*=√2的近似值的绝对误差小于10的-5次方，问应取几位有效数字？

有效数字和相对误差的关系：

0.3 数值计算中的注意事项

• 避免相近的数相减
• 避免数量级相差很大的数相除
• 避免大数吃小数
• 简化计算，避免误差累积
• 选用稳定的算法

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下面是一些练习题
1.哪种误差不会在模型求解的过程中扩大或缩小？答:模型误差
2.算法的稳定性与哪种误差相关？答：舍入误差
3.算法的收敛性与哪种误差相关？答：截断误差
4.哪种误差是可以避免的？答：过失误差。模型误差和观察误差都不可避免
5.只要计算机能表示的精度足够高，可以不需要考虑算法的稳定性。错误
6.关于误差的衡量，估计误差是不准确的。
7.误差增长因子的绝对值很大时，数据误差在运算中传播后，可能会造成结果的很大误差。原始数据的微小变化可能引起结果的很大变化的这类问题，称为病态问题或坏条件问题。正确
8.在数值计算中，我们需要避免以下情况：大小相近的数相减、大数吃小数、除数接近于0。

书后习题解答：