【线性代数】向量组的线性相关性

目录

一、图解向量组的线性相关性

1. 向量组线性相关的定义

 2.三维空间中向量组线性相关的几何意义

3.向量组线性相关与齐次线性方程组

二、向量组线性相关的基本结论

三、向量组线性相关性总结

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一、图解向量组的线性相关性

1. 向量组线性相关的定义

 2.三维空间中向量组线性相关的几何意义

做出向量组A与向量组B的图如下：

旋转图形得到：

 旋转后发现，向量组A可以形成一个平面，即向量组A线性相关；

向量组B，不能形成一个平面，即向量组B线性无关；

3.向量组线性相关与齐次线性方程组

向量组线性相关，即齐次线性方程组有非零解。

二、向量组线性相关的基本结论

 

根据上面的定理：

向量组线性相关的充分必要条件是：R(A)=n

向量组线性无关的充分必要条件是：R(A)

做出几何图形如下：

在三维向量空间中，向量组A形成了一个平面，向量组B中的a4位于这个平面之外。

因为给向量组A增加了一个向量得到向量组B，R(A)<=3,R(B)<=3,

又因为向量组A的个数为3，向量组B的个数为4，则有 R(B)<4.

总结如下：

三、向量组线性相关性总结

（1） 两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例，几何意义是两向量共线；

（2）三个向量线性相关的几何意义是三向量共面；

（3）向量组线性相关的充分必要条件是R(A)

（4）向量组线性相关，则就是对应齐次线性方程组有非零解；

（5）m个n维向量组，若m>n，则向量组一定线性相关；

（6）若向量组线性相关，则向量组线性相关；