正定矩阵与可逆矩阵的关系
一、矩阵可逆
1. 可逆定义：
在线性代数中，给定一个n阶方阵A，若存在一n阶方阵B使得AB=BA=E，其中E为n阶单位矩阵，则称A是可逆的，且B是A的可逆阵，记作A-1
2. 可逆充要条件：
（1）AB=E（E为单位阵）；
（2）矩阵A满秩（即r(A)=n）；
（3）A的特征值全不为0；
（4）A的行列式|A|≠0，也可表述为A是非奇异矩阵（即行列式不为0的矩阵）；
（5）齐次线性方程组AX=0 仅有零解；
（6）非齐次线性方程组AX=b 有唯一解；
（7）A的行（列）向量组线性无关；
（8）任一n维向量可由A的行（列）向量组线性表示。
注：以上条件全部是等价的
二、正定矩阵
1. 正定矩阵定义：
设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。
其实，在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数
2. 正定矩阵性质：
（1）正定矩阵的行列式均大于0，且其一切顺序主子式均大于0；
（2）正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵；
（3）两个正定矩阵的和是正定矩阵；
（4）正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵；
（5）正定矩阵的特征值均为正。
三、正定矩阵与可逆矩阵
1.正定矩阵，一定可逆
证明：
因为：“正定矩阵A的行列式均大于0，且其一切顺序主子式均大于0”，
所以：“矩阵A满秩，一定可逆”
2.举例
如矩阵Q和R分别在什么情况下能保证矩阵M=ATQA+R可逆？
分析：若R是正定的、Q半正定，显然M是正定的，因为Q半正定保证ATQA半正定，而R是正定的，所以M一定是正定的；
又或者R是半正定的，Q是正定的，此时若A满秩，那么ATQA一定正定，而R是半正定的，所以所以M一定是正定的，所以矩阵M=ATQA+R可逆。