高中奥数 2022-02-04

2022-02-04-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚选择恰当的归纳对象 P074 例03）

设个非负整数满足,这里,.
求证:存在,使得对任意,都有.

证明

记,,要求证明存在实数

现设,,,若能证明:,则成立(因为数纳).而为证,只需证明:对任意、,都,即

下面通过对归纳来证明成立.

当时,有,此时,显然成立.设对所有满足的正整数对成立,则当时,如果,那么显然成立;如果,那么由归纳假设知,而由条件中;知,从而,即成立;如果,那么由归纳假设知,而由条件中知,所以,即成立综上可知,对任意、,都成立.

说明

一般地,对任意及、,都有.这是关于取整函数的一个性质,反过来讨论就得到了本题的结论.注意,此题的结论只是对任意有限项成立,并不能对具有题给性质的无穷数列找到符合要求的.

从处理手法上来讲,这里采用对来归纳的策略是方便而且适当的.

2022-02-04-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚选择恰当的归纳对象 P075 例04）

设、为不同的正整数,一个由整数组成的数列满足:其任意连续项之和为负数,而任意连续项之和为正数.问:这个整数数列最多有多少项?

解

设,,,则.并设数列满足条件.记.

一方面,若,我们考虑下述数表
$\begin{aligned} &A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{m_{1}} ; \\ &A_{2}, A_{3}, \cdots, A_{m_{1}+1} ; \\ &\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ &A_{n_{1}}, A_{n_{1}+1}, \cdots, A_{n_{1}+m_{1}-1} . \end{aligned}$
由题设可知,上表中每行中各数之和为负数,每列之和为正数,这样整个表格中所有数之和,按行计算为负数,而按列计算又要为正数,矛盾.所以,应有,即.

另一方面,我们证明:存在一个长为的符合要求的整数数列.为此,我们需要证明下述命题.

命题

设,、为两个不同的正整数,,则存在长为项的有理数数列,它的任意连续项之和为负数,而任意项之和为正数(注意:将此命题中的数列,每个数都乘以这个数列的所有数的公分母就可以得到符合题意的整数数列).

对运用数学归纳法.

当时,不妨设,(否则,将所取数列每个数都乘以即可),这时,任取个正有理数,可得满足命题的数列.

设命题对成立,考虑的情形.

不妨设,注意到,于是,由归纳假设知,存在有理数数列,使得其中任意连续项之和为负数,连续项之和为正数.我们证明:存在有理数,使得下述不等式组成立.
$\left\{\begin{array}{l} a_{d+1}+\cdots+a_{1}+b_{1}+\cdots+b_{(s-1) d-1}<0 \\ a_{d+2}+\cdots+a_{1}+b_{1}+\cdots+b_{(s-1) d-2}<0 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{t d}+\cdots+a_{1}+b_{1}+\cdots+b_{(s-t) d}<0 \end{array}\right.\qquad(*)$
而且
$\left\{\begin{array}{l} a_{t d}+\cdots+a_{1}>0, \\ a_{t d-1}+\cdots+a_{1}+b_{1}>0, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{1}+b_{1}+\cdots+b_{t d-1}>0 . \end{array}\right.\qquad(**)$
这样,数列是一个满足命题的长为的数列,从而命题获证.

事实上,要不等式组、同时成立,我们只需分别选取有理数,使得,, ,,再取,使得为有理数,且

注意的右边减去左边(这里用到归纳假设),故满足条件的存在.依此类推,可知满足不等式组与的有理数存在.

回到原题,满足条件的整数数列最多有项.

高中奥数 2022-02-04

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