2-3查找树（二）：插入

1. 插入简介

2-3树插入的大致思路和BST是一致的，所以我们现在主要需要思考这样一个问题：

如何插入才能随时保证2-3树都能保持完美平衡？

我们通过观察可以发现：¹

1. 如果未命中的查找结束于一个2-结点，我们只要把这个2-结点替换成一个3-结点即可；（如博主之前介绍的那样）
2. 如果未命中的查找结束于一个3-结点，那么就要分情况讨论；

那么接下来，我们就分情况讨论插入操作。

2. 分情况插入

2.1 向2-结点中插入新键

这种情况最简单，只需要把原来的2-结点变成3-结点即可。大家可以看看下面这个图例¹进行理解：

2.2 向一棵只含有一个3-结点的树中插入新键

这种情况，我们先把原先的3-结点变成一个临时4-结点，然后对4-结点进行拆分，拆分成3个2-结点即可。4-结点的定义和3结点类似，只是它有三个键，4条链接。临时4结点经过拆分之后，我们注意到¹：

变化后的树，既是一棵含有3个2-结点的BST，同时也是一课完美平衡的2-3树，因为其中所有的空链接到根结点的距离都相等。插入前树的高度是0，插入后树的高度为1.

这个例子很简单，但它说明了2-3树是如何生长的。同样，大家可以看看下面这个图例¹进行理解：

2.3 向一个父结点为2-结点的3-结点中插入新键

对于这种情况，我们先往3-结点中插入，然后变换成一个临时4-结点，然后将4-结点中的中键（大小居中的键），往其父结点移动，也就是把2-父结点变成一个3-父结点。通过这种往父级“踢皮球”的方式，解决插入后的平衡问题。

这种变换非常的重要，它是2-3树动态变化的核心。同样，大家可以看看下面这个图例¹进行理解：

2.4 向一个父结点为3-结点的3-结点中插入新键

插入的最后一种情况就是，插入结点和其父结点都是3-结点。这种情况和 2.3 的处理方法是类似的，把插入的3-结点变成临时4-结点，然后把插入后的临时4-结点中的中键，“踢皮球”扔给其3-父结点。3-父结点接受子节点“踢”来的中键，变成临时4-结点。到此，新临时4-父结点进行和上面相同的变换，即分解这个父结点，并将它的中键“踢”向它的父结点中去。

推广到一般情况，我们就这样一直向上不断分解临时的4-结点，并将中键插入到更高层的父结点中，直至遇到一个2-结点并将它替换为一个不需要继续分解的3-结点，或者是达到3-结点的根。¹

同样，大家可以看看下面这个图例¹进行理解：

2.5 分解根节点

2.4 中，如果向上经过的父结点全是3-结点，那么我们会一直重复“向上插入 - 分解”，直至遇到3-根结点。那么同样，我们将3-根节点变换成4-结点，然后对其进行分解。这时我们发现，我们不用再向上插入中键了，因为根已经是最顶级的结点，而且分解根，左右两边所有子树的高度都 + 1，所以整棵树依然是平衡的 —— “众生皆平等”原则。

同样，大家可以看看下面这个图例¹进行理解：

2.6 插入总结

上面插入操作那么繁多，看的眼花缭乱啦哒。所以这里总结以下2-3树插入操作的特点：

1. 如果插入位置是2-结点，直接插入就行，把原先的2-结点变成3-结点；
2. 如果插入位置是3-结点，将原先的3-结点变成4-结点。然后分情况分解，如果当前位置不是根结点，则将中键“踢”给父级解决；如果当前位置是根结点，直接但4-结点分解为3个2-结点即可；

至此，2-3树的插入操作都已经讲解完毕。接下来，我们将讲解2-3树的局部变换和全局性质，以及给到一个完整的2-3树构造轨迹图例。

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上一节：2-3查找树（一）：基本概念
下一节：2-3查找树（三）：全局性质和轨迹图例
系列汇总：超详细！红黑树详解文章汇总（含代码）

3. 特别感谢

1. 感谢 @SENNICHEN 制作系列文章封面图

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1. Algorithms 4th Edition ↩︎ ↩︎ ↩︎ ↩︎ ↩︎ ↩︎ ↩︎ ↩︎