空间坐标系以及空间两三维坐标系转换矩阵解释

空间坐标系以及空间两三维坐标系转换矩阵解释

因为工作的原因，需要进行不同坐标系的一个转换，在查阅了众多的网页之后，发现有用的没几个，而且众多都是抄的同一篇文章，而且都是罗列以下旋转的方式，几乎没有解释旋转角的物理意义，也不说这个旋转角怎么得到的。在折腾了一天之后，终于弄清楚了，特意写下来，既能有助于记忆，又能装b，很好很强大。

基础背景

空间三维坐标系转换，大多出现在像我似的搞地图的这群B人里，当然还有搞游戏的大佬们。所以需要对空间三维坐标系做一个小的总结，来防止忘记或者混乱。

具体图形可百度，赖的放图

• 地心坐标系
  空间三维坐标系，左手系
• 高斯坐标系
  在搞激光点云的人眼里，基本上就指的是，当前度带（分3度带和6度带）中的高斯直角坐标系，右手系，点云中记录的点坐标大多有经纬度坐标、高斯坐标，两种坐标。
• 像空间坐标系
  z轴正方向，与主光轴方向重合，x、y轴方向与相平面坐标系平行。右手系
• 像平面坐标系
  xy轴方向与像素坐标系平行，单位为m，是一个物理坐标系
• 像素坐标
  单位为像素，在与像平面坐标系进行转换的时候，需要知道每个像素的物理尺寸

三维坐标系转换

为了通用性，前边的空间坐标系只做一个概念上的罗列，这里针对任意两空间直角坐标系的相互转换进行解释。

• 世界坐标系XYZ：仅仅用于表述，不代表物理意义上世界坐标系
• 局部坐标系xyz
• 旋转角：重点需要搞清楚，这个旋转角是从哪个坐标系旋转到哪个坐标系，在地图行业里的多传感器的联合标定中，这个旋转角是由相应的标定文件提供的。

已知条件

1. 世界坐标系的三个坐标轴：world_x（1，0，0），world_y(0, 1, 0)，world_z（0，0，1）
2. 局部坐标系的三个坐标轴：local_x（g，h，i），local_y（d，e，f）local_z（a，b，c）
   其中，局部坐标系的坐标轴坐标均为世界坐标系下的坐标值，这点非常重要，同时，两空间三维坐标系还有个平移向量，因为只是很简单的坐标值平移，这里就不再赘述，默认两坐标系的原点相同。

旋转原理

这里盗一张图（找了好久，看到的一个良心博客 http://www.skcircle.com/?id=515）

如上图，P点为局部坐标系的z轴上一点，q为点P在世界坐标系ZOY平面上的投影点，r为点P在经过旋转之后的对应点，如果你去查看了贴的那个网页博客，请不要看他的旋转方式，并不是大佬描述错误，而是不适用空间三维坐标系的相互转换，因为这里涉及到一个很蛋疼的说法，这个旋转矩阵描述的是A坐标系到B坐标系转换方式

世界坐标系到局部坐标系的旋转矩阵R

注意：XYZ与xyz，我都会严格注意，不会写错！（写错老子就改！看其他博客的时候，就深受其害），为了描述方便，世界坐标系的轴或者坐标都会用大写的XYZ来代替，局部坐标用xyz来代替，而且为了防止0与O不好分辨，所有的0都用汉字零来表示

问：如何理解旋转矩阵究竟是描述的A到B，还是B到A？

答：旋转世界坐标系，使得世界坐标系与局部坐标系重合，那么得到的这个旋转矩阵，描述的是，世界坐标系到局部坐标系转换关系，用公式来表达

							 local = R * world 

结合上方图片：（注意理解旋转角）

1. 逆时针旋转世界坐标系X轴，使得局部坐标系的 z轴 与世界坐标系的 XOZ 平面共面，结合上图（那个椭圆就是为了方便理解，而虚拟出来的点P的旋转轨迹），要想OP出现在XOZ平面上，就需要逆时针旋转X轴，旋转的角度为θ（注意，α为向量夹角，范围0 - 180，如果这个角不会求，要不，再去从小学开始复读一下吧）。但是注意，旋转角是有方向的，图里的例子，如果要逆时针把OZ，旋转到Oq，那么旋转的角度应该是360 - α。

注意：其实顺时针也可以，只需要保证所有的轴都同时为逆时针或者顺时针即可，不过大家都通用逆时针而已，所以，请把顺时针给从脑子里删除

• 如何来获取旋转角度θ（而非向量夹角）
  就需要用到向量的叉乘，来确定向量的左右侧。这里要将OZ旋转到Oq，那么OZ就是基准，需要知道Oq在OZ的左侧还是右侧，图里是在右侧，与逆时针相反，用叉乘表示： OZ ✖ Oq 得到的向量与X轴的乘积小于零，那么旋转角度就应该是θ = 360 - α，如果在OZ的左侧的话，向量夹角就是旋转角度，θ = α。

  旋转的是X轴，那么矩阵描述应该为Rx
  

2. 经过步骤1之后，局部坐标系的z轴现在就表现为图里的Or，接着逆时针旋转世界坐标系的Y轴，使得世界坐标系的Z轴与局部坐标系得z轴重合，同理，观察Or在OZ得左侧，那么这一步得旋转角度θ = β。
   旋转的是轴，那么矩阵描述应该为Ry
   
3. 经过前两步得旋转，此时世界坐标系得Z轴与局部坐标系得z轴已经重合了，那么接着逆时针旋转世界坐标系Z轴，就是一个简单得二维上得旋转了，就会很好理解了，如下图所示
   
   同理，求出旋转角θ，这次旋转的是世界坐标系的Z轴，那么旋转矩阵就是Rz，
   

结束
经过上边的三步旋转，就将世界坐标系，旋转到了局部坐标系上，通过矩阵的左乘，就能得到世界坐标系到局部坐标系的旋转矩阵R
R = Rz * Ry * Rx

完整坐标值形式（加上偏移值）
local = R * world + T
其中T为世界坐标系原点在 局部坐标系中的坐标

局部坐标系到世界坐标系的旋转矩阵

但是现实中，往往是知道局部坐标系原点在世界坐标系中的坐标，因此，基本上都是求得局部坐标系到世界坐标系得旋转矩阵（上边的R，求个逆即可，自己玩去吧您那，赖的写了）
2021.11.12号，补充
还是写清楚吧，方便各位跟我一样的小白。
上边的旋转矩阵R，描述的是world到local的旋转方式，那么将R求逆得到W，同时知道局部坐标系原点在世界坐标系中的坐标O，那么local坐标转到world坐标的方式如下

									world = W * local + O