HDU 4028【map离散化DP】

题目：The time of a day

题意：

给出一个数N，表示有N条指针,编号1~N,第i条指针旋转一圈所要用的时间是i,从中挑选一些指针，决定一天的长度，这个长度定义为这些指针两次重合的时间间隔。然后给出一个m,求出长度大于等于m的组合数，也就是选择指针的方法数。

解题思路:

很明显这个长度为挑出指针的最小公倍数。朴素的想法是用递推造出所有的最小公倍数，然后找出大于等于m的。但N最大为40，给合数也有2^N-1个，数组开不下。所幸这些最小公倍数有很多是重复的，经打表什么的发现好像只有10万个不同的最小公倍数。

要造出1－i这些数组成的最小公倍数很简单，用个O(N*N)的递推算法。假设前面已造好了1~i个数的最小公倍数，设其集合为s[i], 则s[i + 1] = s[i] + C(s[i], i + 1), C(s, k)表示k与集合s里的数的最小公倍数集合。为了空间不溢出，这里要开map来保存这些最小公倍数。

然后就是时间优化，因为有多组数据输入，如果对每一组数据都重新求一次1~N，最后TLE的。采取的办法是一次造表，然后直接输出。设DP[i][m],表示1~i的数组成的最小公倍数为m的个数，因为m很大，所以第二维是map,有了上面的算法，转移也很明了，DP[i + 1][m] = DP[i][m] + F(DP[i], i　+　１, m)，F(s, k, m)表示k与集合s所产生的最小公倍数为m的个数。

View Code

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <string>
 4 #include <cstring>
 5 #include <algorithm>
 6 #include <vector>
 7 #include <map>
 8 
 9 using namespace std;
10 
11 const int MAXN = 40 + 1;
12 map<long long, long long> DP[MAXN];
13 
14 long long gcd(long long a, long long b)
15 {
16     return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
17 }
18 
19 long long lcm(long long a, long long b)
20 {
21     return a * b / gcd(a, b);
22 }
23 
24 void build()
25 {
26     long long ne;
27     DP[1][1] = 1;
28     for(int i = 2; i < MAXN; ++i)
29     {
30         DP[i] = DP[i - 1];
31         DP[i][i]++;
32         map<long long, long long>::iterator ix = DP[i - 1].begin();
33         while(ix != DP[i - 1].end())
34         {
35             ne = lcm(ix->first, i);
36             DP[i][ne] += ix->second;
37             ++ix;
38         }
39     }
40 }
41 int main()
42 {
43     freopen("in.txt","r",stdin);
44     int T;
45     int N; 
46     long long M;
47     build();
48     scanf("%d", &T);
49     for(int t = 1; t <= T; ++t)
50     {
51         scanf("%d%I64d", &N, &M);
52         long long ans = 1;
53         ans <<= N;
54         map<long long, long long>::iterator ix = DP[N].begin();
55         while(ix != DP[N].end())
56         {
57             if(ix->first >= M)
58                 break;
59             ans -= ix->second;
60             ++ix;
61         }
62         printf("Case #%d: ", t);
63         printf("%I64d\n", ans - 1);
64     }
65     return 0;
66 }