简单理解统计学3-描述分布的数值

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上一章介绍了如何用图标来表示数值的分布；有些统计型数值通常也用来描述数据的分布：
众数
中位数
平均值
范围
标准差（方差）

描述分布的数值

众数、中位数、均值

这三者一般用于描述中心量数（measures of center）

众数：一组数据中,出现次数最多的数据

中位数：按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数；对于有限的数集，可以通过把所有观察值高低排序后找出正中间的一个作为中位数。如果观察值有偶数个，通常取最中间的两个数值的平均数作为中位数
当N为奇数时，M(0.5)=X(N+1)/2
当N为偶数时，M(0.5)=[X(N)/2+X(N+1)/2]/2

均值：是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数

中心量数

范围、标准差

以上两指标分散程度的度量：

范围：一组数据中，最大值-最小值

标准差：总体各单位标准值与其平均数离差平方的算术平均数的平方根

范围、标准差

四则运算对描述分布的数值计算的影响

中心度量值（中位数，众数，平均值）受任何加减乘除的影响；
分散度量值（范围，标准差）仅受乘除的影响；

假设一组数值每个基础变量均增量相同的量，相当于整体分布右移，但其分散程度并未发生变化；
若基础变量同时发生多项运算，均值的计算同时发生多项运算，方差的计算仅针对乘除有效。

四则运算对分布度量值的影响

影响示例

离群值对描述分布的数值计算的影响

离群值（outlier）是指数据中有一个或几个数值与其他数值相比差异较大；
在描述分布的数值中，均值、范围、标准差均会受到离群值的影响；而众数和中位数则相对稳定

离群值对度量的影响

5数概括法及箱形图

五数概括法即用下面的五个数来概括数据：

最小值；
第1四分位数(Q1)： 位置= (n+1) × 0.25
中位数(Q2)： 位置= (n+1) × 0.5
第3四分位数(Q3)： 位置= (n+1) × 0.75
最大值。

箱形图提供了五数概括法的视觉展示，同时箱形图也可展示异常值。
异常值的判断标准如下：数值Q3+1.5*IQR
其中，IQR为四分位间距=Q3-Q1

箱型图

对称性与偏度

当我们在说对称性（symmetry）和偏度（skewness）时，我们主要看的是分布图形的形状（在此主要涉及到三种图形：直方图、茎叶图、箱形图）

对称式分布，图形左右完全对称；中位数=均值

非对称式分布

左偏态：左侧尾部拖得很长；此时数据位于均值左边的比位于右边的少，直观表现为左边的尾部相对于与右边的尾部要长；中位数>平均数

右偏态：右侧尾部拖得很长，此时数据位于均值右边的比位于左边的少，直观表现为右边的尾部相对于与左边的尾部要长；平均值>中位数

分布的对称性