BLS12-381 pairing-friendly 曲线

1. 引言

Pairing-based cryptography已发展了数十年，可用于：

• short数字签名，见2001年论文 Short signatures from the Weil pairing，该签名方案可高效aggregatable，详细见2003年论文 Aggregate and Verifiably Encrypted Signatures from Bilinear Maps
• identity-based cryptography
• 单轮多方秘钥交换，详细见2000年论文 A One Round Protocol for Tripartite Diffie–Hellman
• 多项式承诺方案，如KZG commitment

paring-friendly椭圆曲线应具有：

• 合适的embedding degree
• 大的prime-order subgroup

同时满足以上2个要求的椭圆曲线比较稀有，根据2006年论文 A TAXONOMY OF PAIRING-FRIENDLY ELLIPTIC CURVES 可知，现有的pairing-friendly曲线族主要有：

作为ZCash Sapling升级的基石，ZCash团队Sean Bowe 2017年设计实现了一种新的 pairing-friendly 椭圆曲线——BLS12-381，其针对zk-SNARKs优化，并具有128-bit security level。

“下一代”可扩展区块链协议的激增，使得生成可高效聚合或轻松阈值化的短数字签名变得尤为重要。BLS12-381的特性经常使其成为这些协议的首选曲线。BLS12-381目前已广泛用于以下项目的数字签名和Zero-Knowledge Proof（ZKP）方案中：

• ZCash
• Ethereum 2.0
• Skale
• Algorand
• Dfinity
• Chia
• 等等

详细代码实现可参看：

• https://github.com/zkcrypto/pairing（提供了basic traits for pairing-friendly椭圆曲线）（Rust语言）
• https://github.com/zkcrypto/bls12_381（实现了BLS12-381曲线）（Rust语言）
• https://github.com/zcash/librustzcash/blob/6e0364cd42a2b3d2b958a54771ef51a8db79dd29/pairing/src/bls12_381/README.md（BLS12-381曲线详细的参数和序列化说明）
• Apache的 https://github.com/apache/incubator-milagro-crypto-c/tree/develop/src中有rom_curve_BLS381（C语言）
• https://github.com/herumi/mcl中实现了bls12-381（C语言）
• https://github.com/supranational/blst（C语言和汇编），高性能和安全实现BLS12-381签名。

目前，BLS-381已被纳入IETF标准中：

• 2020年IETF标准草案 Pairing-Friendly Curves draft-yonezawa-pairing-friendly-curves-02
• 2020年IETF标准草案 Hashing to Elliptic Curves draft-irtf-cfrg-hash-to-curve-05
• 2020年IETF标准草案 draft-irtf-cfrg-bls-signature-00.txt draft-irtf-cfrg-bls-signature-00

1.1 Barreto-Naehrig curves

Barreto-Naehrig（BN） curves为a class of paring-friendly 椭圆曲线，即base field为${\mathbb{F}}_q$，order为$r$，$r\approx q$。当$q\approx 2^{254}$时，根据Kim–Barbulescu variant of the Number Field Sieve to compute discrete logarithms in finite fields以及 2016年论文 Challenges with Assessing the Impact of NFS Advances on the Security of Pairing-based Cryptography，其安全性约为110 bits。

可构建目标为128-bit安全性的新BN曲线，需$q\approx 2^{384}$。但，更大的group order $r$值，会损害zk-SNARK以及MPC方案中所需的multi-exponentiation、fast fourier transforms等密码学操作计算性能。

1.2 Barreto-Lynn-Scott curves

Barreto-Lynn-Scott curves（BLS）为相对更老的pairing-friendly curves class（见2002年论文Constructing Elliptic Curves with Prescribed Embedding Degrees），但似乎更有助于实现目标安全级别。取$q\approx 2^{384}$，embedding degree为$12$（即$r|(q^{12}-1)$），可命中128-bit安全级别，其group order为$r\approx 2^{256}$，从而可避免在更大的scalar field中的性能和可用性缺陷。

2. BLS12-381

在zk-SNARK方案中，需要基于scalar field ${\mathbb{F}}_r$操作非常大的多项式。为高效进行multi-point evaluation和interpolation with fast fourier transforms，要求${\mathbb{F}}_r$具有large $2^s$ root of unity。

根据2012年论文Implementing Pairings at the 192-bit Security Level，想设计具有optimal extension field towers以及simple twisting isomorphisms，并确保Montgomery reductions以及其他approximation算法是space-efficient的，取$r\approx 2^{255}$，使得以64-bit limbs表示时，$r$和$q$的最高有效位为unset。

同时，为针对pairing性能优化，要求所设计的BLS曲线的参数具有low Hamming weight。从而最终选中了BLS12-381曲线，其$q\approx 2^{381}$：

u = -0xd201000000010000

k = 12

q = 0x1a0111ea397fe69a4b1ba7b6434bacd764774b84f38512bf6730d2a0f6b0f6241eabfffeb153ffffb9feffffffffaaab

r = 0x73eda753299d7d483339d80809a1d80553bda402fffe5bfeffffffff00000001

E(Fq) := y^2 = x^3 + 4

Fq2 := Fq[i]/(x^2 + 1)

E'(Fq2) := y^2 = x^3 + 4(i + 1)

BLS12-381为BLS曲线族的成员之一。381为表示曲线上坐标所需的bit位数。381是一个很方便的数字，每个field element可用48字节表示，剩余的3个bit可用作标签或计算优化。

参考资料

[1] BLS12-381 For The Rest Of Us
[2] BLS12-381: New zk-SNARK Elliptic Curve Construction

附录A：椭圆曲线密码学入门资料

关于椭圆曲线密码学的入门资料，可参看ANDREA CORBELLINI系列文章：

• Elliptic Curve Cryptography: a gentle introduction
• Elliptic Curve Cryptography: finite fields and discrete logarithms
• Elliptic Curve Cryptography: ECDH and ECDSA
• Elliptic Curve Cryptography: breaking security and a comparison with RSA

附录B：基于pairing的密码学入门资料

基于pairing的密码学入门资料有：

• MIT课件 Lecture 25: Pairing-Based Cryptography
• Alfred Menezes文章 An Introduction to Pairing-Based Cryptography
• Vitalik博客 Exploring Elliptic Curve Pairings
• NIST 2015年报告 Report on Pairing-based Cryptography，重点推荐第2节和附录。
• 2020年IETF标准草案 Pairing-Friendly Curves draft-yonezawa-pairing-friendly-curves-02，很好的pairing-friendly curves背景资料
• Craig Costello的书籍 Pairings for beginners，很赞强烈推荐，里面附magma代码，有助于理解。