约数之和「递归+数论」

约数之和

题目描述：

输入A，B，求 $A^B$的所有约数之和在$mod9901$下的值

思路：

根据唯一分解定理可以把A分解成：

$A=a_1^{p_1}\ast a_2^{p_2}\ast ...\ast a_k^{p_k}$

则 $A^B=a_1^{B\ast p_1}\ast a_2^{B\ast p_2}\ast ...\ast a_k^{B\ast p_k}$

所以约数之和为
$$S=(a_1^0+a_1^1+..+a_1^{B\ast p1})\ast (a_2^0+a_2^1+..+a_2^{B\ast p2})+...+(a_k^0+a_k^1+..+a_k^{B\ast pk})$$
所以我们只需要解决因数分解以及求类似 $(a_1^0+a_1^1+..+a_1^{B\ast p1})$

假设$sum(a,x)=(a^0+a^1+...+a^{x-1})$

• x是偶数时，利用指数相乘时底数不变，指数想加的方法可以得出 $sum(a,x)=sum(a,x/2)+sum(a,x/2)\ast a^{x/2}$
• x是奇数时，只需要把最后一项拿出来，则可以利用偶数方法计算，$sum(a,x)=sum(a,x-1)\ast a^{x-1}$

这其实就是递归的过程

当然，这个题的模数只有9901，任何一个数字的幂次最多经过9900次就会产生重复，所以我们可以记录循环节来直接计算$sum(a,x)$,计算一次最多需要循环9901次，A最多也就十几个质因子，所以复杂度差不多是1e5级别的

#include
using namespace std;

#define endl '\n'
#define io ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0)
#define m_p(a, b) make_pair(a, b)
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
#define MAX 300005
#define mod 9901
int n, m, d, x, k;
ll sum[MAX];

ll p_qow(ll a, ll b){
	ll ans = 1;
	while(b){
		if(b&1)ans = (ans * a) % mod;
		(a *= a) %= mod;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

ll fuck(ll x, ll k){
	if(k == 1)return 1;
	if(k % 2 == 0){
		return (fuck(x, k/2) * (1ll + p_qow(x, k/2)))%mod; 
	}
	else return (fuck(x, k-1) + p_qow(x, k-1))%mod;
}


void work(){
	cin >> n >> m;
	ll ans = 1ll;
	for(ll i = 2; i * i <= n; ++i){
		if(n % i == 0){
			ll num = 0;
			while(n % i == 0){
				++num;
				n /= i;
			}
			num *= m;
			(ans *= fuck(i, num+1))%=mod;
		}
	}
	if(n > 1)(ans *= fuck(n, 1+m))%=mod;
	if(!n)cout << 0 << endl;
	else cout << ans << endl;
}


int main(){
	//int t;cin >> t;while(t--)
	work();
	return 0;
}