高数不定积分72题解答

题目来源:这72道积分题目会积了,绝对是高高手

题目作者: 湖心亭看雪

第一题

原式 = ∫ 1 5 x + 3 d x = 1 5 ∫ 1 5 x + 3 d ( 5 x + 3 ) = 1 5 l n ( 5 x + 3 ) + C \begin{aligned} \text{原式}&=\int \frac{1}{5x+3}dx \\ &=\frac{1}{5} \int\frac{1}{5x+3}d(5x+3) \\ &=\frac{1}{5} ln(5x+3) +C \end{aligned} 原式=5x+31dx=515x+31d(5x+3)=51ln(5x+3)+C

第二题

原式 = ∫ e 2 x + 3 d x = 1 2 ∫ e 2 x + 3 d ( 2 x + 3 ) = 1 2 e 2 x + 3 + C \begin{aligned} \text{原式}&=\int e^{2x+3}dx \\ &=\frac{1}{2} \int e^{2x+3}d(2x+3) \\ &=\frac{1}{2} e^{2x+3}+C \end{aligned} 原式=e2x+3dx=21e2x+3d(2x+3)=21e2x+3+C

第三题

原式 = ∫ x e x 2 d x = 1 2 ∫ e x 2 d x 2 = 1 2 e x 2 + C \begin{aligned} \text{原式}&=\int xe^{x^2} dx \\ &= \frac{1}{2} \int e^{x^2} dx^2 \\ &=\frac{1}{2}e^{x^2}+C \end{aligned} 原式=xex2dx=21ex2dx2=21ex2+C

第四题

原式 = ∫ x 1 − x 2 d x = − 1 2 ∫ 1 − x 2 d ( 1 − x 2 ) = − 1 3 ( 1 − x 2 ) 3 2 + C \begin{aligned} \text{原式}&=\int x\sqrt{1-x^2} dx \\ &=-\frac{1}{2} \int \sqrt{1-x^2}d(1-x^2) \\ &=-\frac{1}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2} } +C \end{aligned} 原式=x1x2 dx=211x2 d(1x2)=31(1x2)23+C

第五题

原式 = ∫ 1 x 2 s i n 1 x d x = − ∫ s i n 1 x d ( 1 x ) = c o s ( 1 x ) + C \begin{aligned} \text{原式}&=\int \frac{1}{x^2}sin{\frac{1}{x}} dx \\ &=-\int sin{\frac{1}{x}}d(\frac{1}{x} ) \\ &=cos(\frac{1}{x})+C \end{aligned} 原式=x21sinx1dx=sinx1d(x1)=cos(x1)+C

第六题

原式 = ∫ e 3 x x d x = 2 ∫ e 3 x 2 x d x = 2 3 ∫ e 3 x d ( 3 x ) = 2 3 e 3 x + C \begin{aligned} \text{原式}&=\int \frac{e^{3\sqrt[]{x} }}{\sqrt[]{x}} dx \\ &=2\int \frac{e^{3\sqrt[]{x} }}{2\sqrt{x} } dx \\ &=\frac{2}{3} \int e^{3\sqrt[]{x} }d(3\sqrt[]{x}) \\ &=\frac{2}{3}e^{3\sqrt[]{x}}+C \end{aligned} 原式=x e3x dx=22x e3x dx=32e3x d(3x )=32e3x +C

第七题

原式 = ∫ 1 x ( 1 + x 6 ) d x = ∫ ( 1 x − x 5 1 + x 6 ) d x = l n x − 1 6 ∫ 1 1 + x 6 d ( 1 + x 6 ) = l n x − 1 6 l n ( 1 + x 6 ) + C \begin{aligned} \text{原式}&=\int \frac{1}{x(1+x^6)} dx \\ &=\int (\frac{1}{x}-\frac{x^5}{1+x^6} )dx \\ &=lnx-\frac{1}{6} \int \frac{1}{1+x^6} d(1+x^6) \\ &=lnx-\frac{1}{6}ln(1+x^6)+C \end{aligned} 原式=x(1+x6)1dx=(x11+x6x5)dx=lnx611+x61d(1+x6)=lnx61ln(1+x6)+C

第八题

原式 = ∫ c o s 2 x d x = 1 2 ∫ c o s 2 x d 2 x = 1 2 s i n 2 x + C \begin{aligned} \text{原式}&=\int cos2x dx \\ &=\frac{1}{2} \int cos2x d2x \\ &=\frac{1}{2}sin2x +C \end{aligned} 原式=cos2xdx=21cos2xd2x=21sin2x+C

第九题

原式 = ∫ s i n x 5 + c o s x d x = − ∫ 1 5 + c o s x d ( 5 + c o s x ) = − 2 ∫ 1 2   5 + c o s x d ( 5 + c o s x ) = − 2   5 + c o s x + C \begin{aligned} \text{原式}&=\int \frac{sinx}{\sqrt[]{5+cosx} }dx \\ &=-\int \frac{1}{\sqrt[]{5+cosx}} d(5+cosx) \\ &=-2\int \frac{1}{2~\sqrt[]{5+cosx}}d(5+cosx) \\ &=-2~\sqrt[]{5+cosx}+C \end{aligned} 原式=5+cosx sinxdx=5+cosx 1d(5+cosx)=22 5+cosx 1d(5+cosx)=2 5+cosx +C

第十题

原式 = ∫ t a n 4 x d x = ∫ ( s e c 2 x − 1 ) 2 d x = ∫ ( s e c 4 x − 2 s e c 2 x + 1 ) d x = ∫ s e c 2 x ( s e c 2 x − 2 ) d x + ∫ 1 d x = ∫ s e c 2 x ( t a n 2 x − 1 ) d x + x = ∫ s e c 2 x t a n 2 x d x − ∫ s e c 2 d x + x = ∫ t a n 2 x d t a n x − t a n x + x = 1 3 t a n 3 x − t a n x + x + C \begin{aligned} \text{原式}&=\int tan^4xdx \\ &=\int(sec^2x-1)^2dx \\ &=\int (sec^4x-2sec^2x+1)dx \\ &=\int sec^2x(sec^2x-2) dx+\int 1dx \\ &=\int sec^2x(tan^2x-1) dx+x \\ &=\int sec^2xtan^2xdx-\int sec^2 dx+x \\ &=\int tan^2x dtanx -tanx+x \\ &=\frac{1}{3}tan^3x -tanx +x+C \end{aligned} 原式=tan4xdx=(sec2x1)2dx=(sec4x2sec2x+1)dx=sec2x(sec2x2)dx+1dx=sec2x(tan2x1)dx+x=sec2xtan2xdxsec2dx+x=tan2xdtanxtanx+x=31tan3xtanx+x+C

第十一题

原式 = ∫ e 2 x 1 + e x d x = ∫ e 2 x − 1 + 1 1 + e x d x = ∫ ( e x − 1 ) ( e x + 1 ) + 1 1 + e x d x = ∫ ( e x − 1 ) d x + ∫ 1 1 + e x d x = e x − x + ∫ 1 + e x − e x 1 + e x d x = e x − x + ∫ 1 d x − ∫ e x 1 + e x d x = e x − ∫ 1 1 + e x d e x = e x − l n ( 1 + e x ) + C \begin{aligned} \text{原式}&=\int \frac{e^{2x}}{1+e^x} dx \\ &=\int\frac{e^{2x}-1+1}{1+e^x} dx \\ &=\int\frac{(e^x-1)(e^x+1)+1}{1+e^x} dx \\ &=\int (e^x-1)dx+\int \frac{1}{1+e^x} dx \\ &=e^x-x+\int \frac{1+e^x-e^x}{1+e^x} dx \\ &=e^x-x+\int 1 dx-\int \frac{e^x}{1+e^x} dx \\ &=e^x-\int \frac{1}{1+e^x} de^x \\ &=e^x-ln(1+e^x)+C \end{aligned} 原式=1+exe2xdx=1+exe2x1+1dx=1+ex(ex1)(ex+1)+1dx=(ex1)dx+1+ex1dx=exx+1+ex1+exexdx=exx+1dx1+exexdx=ex1+ex1dex=exln(1+ex)+C

第十二题

原式 = ∫ 1 1 + e x d x = ∫ 1 + e x − e x 1 + e x d x = ∫ 1 d x − ∫ e x 1 + e x d x = x − ∫ 1 1 + e x d e x = x − l n ( 1 + e x ) + C \begin{aligned} \text{原式}&=\int \frac{1}{1+e^x} dx \\ &=\int \frac{1+e^x-e^x}{1+e^x} dx \\ &=\int 1 dx-\int \frac{e^x}{1+e^x} dx \\ &=x-\int \frac{1}{1+e^x} de^x \\ &=x-ln(1+e^x)+C \end{aligned} 原式=1+ex1dx=1+ex1+exexdx=1dx1+exexdx=x1+ex1dex=xln(1+ex)+C

第十三题

原式 = ∫ 1 x l n 2 x = ∫ 1 l n 2 x d l n x = − 1 l n x + C \begin{aligned} \text{原式}&=\int \frac{1}{xln^2x} \\ &= \int \frac{1}{ln^2x}dlnx \\ &= -\frac{1}{lnx} + C \end{aligned} 原式=xln2x1=ln2x1dlnx=lnx1+C

第十四题

原式 = ∫ 1 x ( 1 + 2 l n x ) d x = 1 2 ∫ 1 1 + 2 l n x d ( 2 l n x ) = 1 2 l n ( 1 + 2 l n x ) + C \begin{aligned} \text{原式}&=\int \frac{1}{x(1+2lnx)}dx \\ &=\frac{1}{2} \int \frac{1}{1+2lnx} d(2lnx) \\ &=\frac{1}{2}ln(1+2lnx)+C \end{aligned} 原式=x(1+2lnx)1dx=211+2lnx1d(2lnx)=21ln(1+2lnx)+C

第十五题

原式 = ∫ 1 a 2 c o s 2 x + b 2 s i n 2 x d x = ∫ 1 c o s 2 x a 2 + b 2 t a n 2 x d x = ∫ s e c 2 x a 2 + b 2 t a n 2 x d x = ∫ 1 a 2 + b 2 t a n 2 x d t a n x = 1 a b ∫ 1 1 + b 2 t a n 2 x a 2 d ( b t a n x a ) = 1 a b a r c t a n ( b t a n x a ) + C \begin{aligned} \text{原式}&=\int \frac{1}{a^2cos^2x+b^2sin^2x}dx \\ &=\int \frac{\frac{1}{cos^2x} }{a^2+b^2tan^2x}dx \\ &=\int \frac{sec^2x }{a^2+b^2tan^2x}dx \\ &=\int \frac{1}{a^2+b^2tan^2x}dtanx \\ &=\frac{1}{ab} \int \frac{1}{1+\frac{b^2tan^2x}{a^2} }d(\frac{btanx}{a}) \\ &=\frac{1}{ab}arctan(\frac{btanx}{a}) +C \end{aligned} 原式=a2cos2x+b2sin2x1dx=a2+b2tan2xcos2x1dx=a2+b2tan2xsec2xdx=a2+b2tan2x1dtanx=ab11+a2b2tan2x1d(abtanx)=ab1arctan(abtanx)+C

第十六题

原式 = ∫ 1 a 2 + x 2 d x = 1 a a r c tan ⁡ x a + C \begin{aligned} \text{原式}&=\int{\frac{1}{a^2+x^2}}dx \\ &=\frac{1}{a}\mathrm{arc}\tan \frac{x}{a}+C \end{aligned} 原式=a2+x21dx=a1arctanax+C

第十七题

原式 = ∫ 1 a 2 − x 2 d x = 1 2 a ln ⁡ ∣ ln ⁡ x − a x + a ∣ + C \begin{aligned} \text{原式}&=\int{\frac{1}{a^2-x^2}}dx \\ &=\frac{1}{2a}\ln \mid \ln \frac{x-a}{x+a}\mid +C \end{aligned} 原式=a2x21dx=2a1lnlnx+axa+C

第十八题

原式 = ∫ 1 a 2 − x 2 d x = a r c sin ⁡ x a + C \begin{aligned} \text{原式}&=\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx} \\ &=\mathrm{arc}\sin \frac{x}{a}+C \end{aligned} 原式=a2x2 1dx=arcsinax+C

第十九题

原式 = ∫ sin ⁡ 3 x d x = − ∫ sin ⁡ 2 x d cos ⁡ x = − ∫ 1 − cos ⁡ 2 x d cos ⁡ x = − cos ⁡ x + 1 3 cos ⁡ 3 x + C \begin{aligned} \text{原式}&=\int{\sin ^3xdx} \\ &=-\int{\sin ^2xd\cos x} \\ &=-\int{1-\cos ^2xd\cos x} \\ &=-\cos x+\frac{1}{3}\cos ^3x+C \end{aligned} 原式=sin3xdx=sin2xdcosx=1cos2xdcosx=cosx+31cos3x+C

第二十题

原式 = ∫ sin ⁡ 5 x d x = − ∫ sin ⁡ 4 x d cos ⁡ x = − ∫ ( 1 − cos ⁡ 2 x ) 2 d cos ⁡ x = − ∫ ( 1 − 2 cos ⁡ 2 x + cos ⁡ 4 x ) d cos ⁡ x = − cos ⁡ x + 2 3 cos ⁡ 3 x + 1 5 cos ⁡ 5 x + C \begin{aligned} \text{原式}&=\int{\sin ^5x}dx \\ &=-\int{\sin ^4xd\cos x} \\ &=-\int{\left( 1-\cos ^2x \right) ^2d\cos x} \\ &=-\int{\left( 1-2\cos ^2x+\cos ^4x \right) d\cos x} \\ &=-\cos x+\frac{2}{3}\cos ^3x+\frac{1}{5}\cos ^5x+C \end{aligned} 原式=sin5xdx=sin4xdcosx=(1cos2x)2dcosx=(12cos2x+cos4x)dcosx=cosx+32cos3x+51cos5x+C

第二十一题

原式 = ∫ cos ⁡ 3 x d x = ∫ cos ⁡ 2 x d sin ⁡ x = ∫ ( 1 − sin ⁡ 2 x ) d sin ⁡ x = sin ⁡ x − 1 3 sin ⁡ 3 x + C \begin{aligned} \text{原式}&=\int{\cos ^3xdx} \\ &=\int{\cos ^2xd\sin x} \\ &=\int{\left( 1-\sin ^2x \right) d\sin x} \\ &=\sin x-\frac{1}{3}\sin ^3x+C \end{aligned} 原式=cos3xdx=cos2xdsinx=(1sin2x)dsinx=sinx31sin3x+C

第二十二题

原式 = ∫ sin ⁡ 4 x d x = − ∫ ( 1 − cos ⁡ 2 x 2 ) 2 d x = 1 4 ∫ ( 1 − cos ⁡ 2 x ) 2 d x = 1 4 ∫ ( 1 − 2 cos ⁡ 2 x + + cos ⁡ 2 2 x ) d x = 1 4 x + ∫ cos ⁡ 2 2 x d x − 1 4 sin ⁡ 2 x = 1 4 x − 1 4 sin ⁡ 2 x + 1 4 ∫ cos ⁡ 4 x + 1 2 d x = 1 4 x − 1 4 sin ⁡ 2 x + 1 8 ∫ ( cos ⁡ 4 x + 1 ) d x = 1 4 x − 1 4 sin ⁡ 2 x + 1 8 x + 1 8 ∫ cos ⁡ 4 x d x = 3 8 x − 1 4 sin ⁡ 2 x + 1 32 sin ⁡ 4 x + C \begin{aligned} \text{原式}&=\int{\sin ^4xdx} \\ &=-\int{\left( \frac{1-\cos 2x}{2} \right) ^2dx} \\ &=\frac{1}{4}\int{\left( 1-\cos 2x \right) ^2dx} \\ &=\frac{1}{4}\int{\left( 1-2\cos 2x++\cos ^22x \right) dx} \\ &=\frac{1}{4}x+\int{\cos ^22xdx-\frac{1}{4}\sin 2x} \\ &=\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{1}{4}\int{\frac{\cos 4x+1}{2}}dx \\ &=\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{1}{8}\int{\left( \cos 4x+1 \right) dx} \\ &=\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{1}{8}x+\frac{1}{8}\int{\cos 4xdx} \\ &=\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{1}{32}\sin 4x+C \end{aligned} 原式=sin4xdx=(21cos2x)2dx=41(1cos2x)2dx=41(12cos2x++cos22x)dx=41x+cos22xdx41sin2x=41x41sin2x+412cos4x+1dx=41x41sin2x+81(cos4x+1)dx=41x41sin2x+81x+81cos4xdx=83x41sin2x+321sin4x+C

第二十三题

原式 = ∫ sin ⁡ 2 x cos ⁡ 5 x d x = ∫ sin ⁡ 2 x ( 1 − sin ⁡ 2 x ) 2 d sin ⁡ x = ∫ ( sin ⁡ 2 x + sin ⁡ 6 x − 2 sin ⁡ 4 x ) d sin ⁡ x = 1 3 sin ⁡ 3 x + 1 7 sin ⁡ 7 x − 2 5 sin ⁡ 5 x + C \begin{aligned} \text{原式}&=\int{\sin ^2x\cos ^5xdx} \\ &=\int{\sin ^2x\left( 1-\sin ^2x \right) ^2d\sin x} \\ &=\int{\left( \sin ^2x+\sin ^6x-2\sin ^4x \right) d\sin x} \\ &=\frac{1}{3}\sin ^3x+\frac{1}{7}\sin ^7x-\frac{2}{5}\sin ^5x+C \end{aligned} 原式=sin2xcos5xdx=sin2x(1sin2x)2dsinx=(sin2x+sin6x2sin4x)dsinx=31sin3x+71sin7x52sin5x+C

第二十四题

原式 = ∫ sec ⁡ x d x = ∫ 1 cos ⁡ x d x = ∫ 1 cos ⁡ 2 x d sin ⁡ x = ∫ 1 1 − sin ⁡ 2 x d sin ⁡ x = 1 2 ∫ ( 1 1 + sin ⁡ x + 1 1 − sin ⁡ x ) d sin ⁡ x = 1 2 ln ⁡ ( 1 + sin ⁡ x 1 − sin ⁡ x ) + C \begin{aligned} \text{原式}&=\int{\sec xdx} \\ &=\int{\frac{1}{\cos x}dx} \\ &=\int{\frac{1}{\cos ^2x}d\sin x} \\ &=\int{\frac{1}{1-\sin ^2x}d\sin x} \\ &=\frac{1}{2}\int{\left( \frac{1}{1+\sin x}+\frac{1}{1-\sin x} \right) d\sin x} \\ &=\frac{1}{2}\ln \left( \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right) +C \end{aligned} 原式=secxdx=cosx1dx=cos2x1dsinx=1sin2x1dsinx=21(1+sinx1+1sinx1)dsinx=21ln(1sinx1+sinx)+C

第二十五题

原式 = ∫ sec ⁡ 3 x tan ⁡ 5 x d x = ∫ sin ⁡ 5 x cos ⁡ 8 x d x = − ∫ ( 1 − cos ⁡ 2 x ) 2 cos ⁡ 8 x d cos ⁡ x = − ∫ ( 1 − t 2 ) 2 t 8 d t = − ∫ ( 1 t 8 + 1 t 4 − 2 t 6 ) d t = 1 7 t 7 + 1 3 t 3 − 2 5 t 5 + C = 1 7 cos ⁡ 7 x + 1 3 cos ⁡ 3 x − 2 5 cos ⁡ 5 x + C \begin{aligned} \text{原式}&=\int{\sec ^3x\tan ^5xdx} \\ &=\int{\frac{\sin ^5x}{\cos ^8x}dx} \\ &=-\int{\frac{\left( 1-\cos ^2x \right) ^2}{\cos ^8x}}d\cos x \\ &=-\int{\frac{\left( 1-t^2 \right) ^2}{t^8}dt} \\ &=-\int{\left( \frac{1}{t^8}+\frac{1}{t^4}-\frac{2}{t^6} \right) dt} \\ &=\frac{1}{7t^7}+\frac{1}{3t^3}-\frac{2}{5t^5}+C \\ &=\frac{1}{7\cos ^7x}+\frac{1}{3\cos ^3x}-\frac{2}{5\cos ^5x}+C \end{aligned} 原式=sec3xtan5xdx=cos8xsin5xdx=cos8x(1cos2x)2dcosx=t8(1t2)2dt=(t81+t41t62)dt=7t71+3t315t52+C=7cos7x1+3cos3x15cos5x2+C

第二十六题

原式 = ∫ tan ⁡ 5 x sec ⁡ 4 x d x = ∫ sin ⁡ 5 x cos ⁡ 9 x d x = − ∫ sin ⁡ 4 x cos ⁡ 9 x d cos ⁡ x = − ∫ ( 1 − cos ⁡ 2 x ) 2 cos ⁡ 9 x d cos ⁡ x = − ∫ 1 − 2 cos ⁡ 2 x + cos ⁡ 4 x cos ⁡ 9 x d cos ⁡ x = − ( ∫ 1 cos ⁡ 9 x d cos ⁡ x − 2 ∫ 1 cos ⁡ 7 x d cos ⁡ x + ∫ 1 cos ⁡ 5 x d cos ⁡ x ) = 1 8 cos ⁡ 8 x − 1 3 cos ⁡ 6 x + 1 4 cos ⁡ 4 x + C \begin{aligned} \text{原式}&=\int{\tan ^5x\sec ^4xdx} \\ &=\int{\frac{\sin ^5x}{\cos ^9x}dx} \\ &=-\int{\frac{\sin ^4x}{\cos ^9x}d\cos x} \\ &=-\int{\frac{\left( 1-\cos ^2x \right) ^2}{\cos ^9x}d\cos x} \\ &=-\int{\frac{1-2\cos ^2x+\cos ^4x}{\cos ^9x}}d\cos x \\ &=-\left( \int{\frac{1}{\cos ^9x}d\cos x-2\int{\frac{1}{\cos ^7x}d\cos x+\int{\frac{1}{\cos ^5x}}d\cos x}} \right) \\ &=\frac{1}{8\cos ^8x}-\frac{1}{3\cos ^6x}+\frac{1}{4\cos ^4x}+C \end{aligned} 原式=tan5xsec4xdx=cos9xsin5xdx=cos9xsin4xdcosx=cos9x(1cos2x)2dcosx=cos9x12cos2x+cos4xdcosx=(cos9x1dcosx2cos7x1dcosx+cos5x1dcosx)=8cos8x13cos6x1+4cos4x1+C

第二十七题

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