002 有符号数补码加法的位扩展

原码，反码，补码

• 正数的原码、反码、补码相同
• 原码：最高位表示正负（0正1负），其他位表示数
• 反码：负数的反码，符号位不变，其他位按位取反
• 补码：负数的补码，符号位不变，其他位按位取反
• 用4位二进制表示3：0011（原码，反码，补码）
• 用4位二进制表示-3：1011（原码），1100（反码），1101（补码）

3位二进制对应的原码，反码，补码对照表

二进制	原码	反码	补码	十进制
000	0	0	0	0
001	1	1	1	1
010	2	2	2	2
011	3	3	3	3
100	-0	-3	-4	4
101	-1	-2	-3	5
110	-2	-1	-2	6
111	-3	-0	-1	7

n为二进制数的反码f与十进制数d的关系如下
$$f=\{\begin{array}{ll}d& \text{if }x>=0\\ d+1-2^n& \text{if }x<0\end{array}$$

反码其实是用来解决负数的问题的，有了反码，绝对值相同，符号相反的两个数相加，结果是111，也就是-0，但这样0有两个，不太好，所以补码在反码的基础上加1，相加后结果是1000，又绕回来000了，这样0就只有两个。

如果一个正数（如010，2）加上一个绝对值比他小1的负数（111，-1），结果是001，刚好是正1，加上一个绝对值比他大1的负数（101，-3），结果是111，刚好是-1

为什么取反了减法就对了，是因为这个序列是一个环，000->001->010->…->111->000。

整数的加减法其实就是点在坐标轴的移动，二进制的补码相当于对-4到3进行了重新编码，编码后的补码同样是顺序码，每个码之间相差一个单位，所以补码的加减法可以直接运算
比如-1加-2，相当于6+7，应该是13，但溢出了，因此取（13%8）=5

原码的加减法

2 +（-2）= 010 + 110 = 000（0，正确）
2 +（-3）= 010 + 111 = 001（1，错误）

补码的加减法

2 +（-2）= 010 + 110 = 000（0，正确）
2 +（-3）= 010 + 101 = 111（-1，正确）

补码减法直接运算即可获得正确结果

有符号数补码加法的位扩展

两个3位有符号补码相加，其结果最小值是100（-4）+100（-4）=1000（-8），最大值011（3）+011（3）=0110（6），要用4位二进制表示，Verilog代码实现如下：

reg[2:0] a, b;
reg[3:0] c;
assign c = {a[2], a} + {b[2], b};

假如a是0或者正数，高位扩展的是0，补码肯定是正确的，假如a是负数

3位二进制	4位二进制	补码
100	1_100	-4
101	1_101	-3
110	1_110	-2
111	1_111	-1

从表中可以看出，在最高位补了一位符号位