矩阵论的一些问题(最小多项式，jordan标准型，矩阵范数)
1.最小多项式求法
比如例题A= [ 1 2 3 0 5 6 0 0 9 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix} ⎣⎡100250369⎦⎤
求它的最小多项式。
解：|λE-A|= [ λ − 5 − 2 − 3 0 λ − 5 − 6 0 0 λ − 9 ] \begin{bmatrix} λ-5 & -2 & -3 \\ 0 & λ-5 & -6 \\ 0 & 0 & λ-9 \end{bmatrix} ⎣⎡λ−500−2λ−50−3−6λ−9⎦⎤
得到(λ-5) ²×(λ-9)，要求它的最小多项式就是求它的特征值时的这个式子，不过要经过验算，这个矩阵的最小多项式有两种可能，一个是(λ-5)×(λ-9)，因为它要包含所有的特征值，经过验算将|5E-A||9E-A|的矩阵值不等于0，所以它的最小多项式为(λ-5) ²×(λ-9)。如果将A改为：
[ 5 0 0 0 5 0 0 0 9 ] \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix} ⎣⎡500050009⎦⎤那么他的最小多项式为(λ-5)×(λ-9)，因为|5E-A||9E-A|的矩阵值为0
2.jordan标准型
比如例题A= [ 2 − 1 1 0 3 − 1 2 1 3 ] \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} ⎣⎡202−1311−13⎦⎤
求它的jordan标准型。
解：|λE-A|= [ λ − 2 1 − 1 0 λ − 3 1 − 2 − 1 λ − 3 ] \begin{bmatrix} λ-2 & 1 & -1 \\ 0 & λ-3 & 1 \\ -2 & -1 & λ-3 \end{bmatrix} ⎣⎡λ−20−21λ−3−1−11λ−3⎦⎤
经过初等行变换得到(λ-2) ²×(λ-4)。则(λ-2)对应的jordan块为J(2,2)= [ 2 1 0 2 ] \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \\ \end{bmatrix} [2012](λ-4)对应的jordan块为J(4,1)=[4],则矩阵的jordan标准型为
[ 2 1 0 0 2 0 0 0 4 ] \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} ⎣⎡200120004⎦⎤
3.求矩阵范数
已知矩阵A= [ − 1 0 2 i 3 5 − 1 0 1 2 0 − 1 7 − i 2 − 4 ] \begin{bmatrix} -1 & 0 & 2 & i \\ 3 & 5 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & -1 \\ 7 & -i & 2 & -4 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡−1317052−i2−102i0−1−4⎦⎥⎥⎤i²=-1,计算||A||₁,||A||∞。如果x=(-1 2 0 -i)T,计算||Ax||₁和||Ax||∞
解：先求A的1范数就是||A||₁，就是计算矩阵的每列模的和，最后取最大值。意思就是对于矩阵A第一列的每个元素模的和为12，第二列每个元素模的和为8，第三列每个元素模的和为5，第四列每个元素模的和为6，则||A||₁=max(12 8 5 6)=12
求A的无穷范数||A||∞，就是计算每行模的和，最后取最大值。意思就是对于矩阵A第一行的每个元素模的和为4，第二行每个元素模的和为9，第三行每个元素模的和为4，第四行每个元素模的和为14，则||A||∞=max(4 9 4 14)=14
因为：Ax=
[ − 1 0 2 i 3 5 − 1 0 1 2 0 − 1 7 − i 2 − 4 ] \begin{bmatrix} -1 & 0 & 2 & i \\ 3 & 5 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & -1 \\ 7 & -i & 2 & -4 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡−1317052−i2−102i0−1−4⎦⎥⎥⎤乘以 [ − 1 2 0 − i ] \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \\ -i \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡−120−i⎦⎥⎥⎤
得到矩阵 [ 2 7 3 + i − 7 + 2 i ] \begin{bmatrix} 2 \\ 7 \\ 3+i \\ -7+2i \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡273+i−7+2i⎦⎥⎥⎤
对这个得到的新的矩阵和上面的求法一样||Ax||₁=9+√￣10+√￣53，||Ax||∞=max(2 7 √￣10 √￣53)=√￣53