【导数术】9.指对互化和指对同构

9.指对互化与指对同构

（1）核心原理

所谓指对互化，如下示例：

$x=e^{\ln x}=\ln (e^x)$，

$x^2{e}^x=e^{2\ln x}\cdot e^x=e^{2\ln x+x}\ge 2\ln x+x+1$

指对互化是指对同构是前置知识。
需要指对同构的题目的显著特征是跨阶，即：既有指数又有对数。

（2）常见的类型示例

• 乘积

如：$a{e}^a<b\ln b$

构造方法有三种，如下：

构造方法	构造的函数
与左侧一致：$a{e}^a<\ln b\cdot e^{\ln b}$	$f(x)=x{e}^x$
与右侧一致：$e^a\ln (e^a)<b\ln b$	$f(x)=x\ln x$
对数化：$a+\ln a<\ln b+ln(lnb)$	$f(x)=x+\ln x$

• 商

如：$\frac{e^a}{a}<\frac{b}{lnb}$

同理有三种构造方法：

构造方法	构造的函数
与左侧一致：$\frac{e^a}{a}<\frac{e^{\ln b}}{\ln b}$	$f(x)=\frac{e^x}{x}$
与右侧一致：$\frac{e^a}{\ln (e^a)}<\frac{b}{\ln b}$	$f(x)=\frac{x}{\ln x}$
对数化：$a-\ln a=\ln b-\ln (\ln b)$	$f(x)=x-\ln x$

• 和差

如：$e^a\pm a<b\pm \ln b$

构造方法	构造的函数
与左侧一致：$e^a\pm a<e^{lnb}\pm \ln b$	$f(x)=e^x\pm x$
与右侧一致：$e^a\pm \ln e^a<b\pm \ln b$	$f(x)=x\pm \ln x$

（3）练习

$Pra.9.1$

设$a,b\in R_{+}$，$a{e}^{a+1}+b<b\ln b$，求证：$b>e^{a+1}$

• $Solution$：同构为

$$a{e}^a<\frac{b}{e}\ln \frac{b}{e}$$

$Pra.9.2$

对任意实数$x>a$，不等式$2a{e}^{2x}-\ln x+\ln a\ge 0$恒成立，求$a$的最小值

• $Solution$：考虑指数的$2x$，不等式变换为：

$$2x{e}^{2x}-\frac{x\ln x}{a}+\frac{x}{a}\ln a\ge 0$$

即：
$$2x{e}^{2x}\ge \frac{x}{a}\ln \frac{x}{a}$$
构造函数$g(x)=x{e}^x,x>0$时单增，原式子等价于：
$$g(2x)\ge g(\ln \frac{x}{a})$$
于是：$2x\ge \ln x-\ln a$，得：$a\ge \frac{1}{2e}$

$Pra.9.3$：[2020山东12月高三联考]

已知函数$f(x)=\ln x+ax+1$

（1）讨论$f(x)$的单调性；

（2）对$\forall x>0,x{e}^{2x}\ge f(x)$恒成立，求$a$的最大值

• $Solution:$

第一小问略，第二小问指对互化即可，$a_{\max }=2$

$Pra.9.4$：[2020新高考I卷]

已知函数$f(x)=a{e}^{x-1}-\ln x+\ln a$

（1）当$a=e$时，求曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线与两坐标围成的三角形的面积；

（2）若$f(x)\ge 1$，求$a$的取值范围.

• $Solution$：

（1）面积为：
$$S=\frac{2}{e-1}$$
（2） [同构]：注意到$a{e}^{x-1}=e^{x-1+\ln a}$

不妨令$t=x-1+\ln a$，于是$\ln a=t-x+1$

原式等价于：$e^t-\ln x+t-x+1-1\ge 0$

即：$e^t+t\ge x+\ln x$

构造函数$p(x)=e^x+x$

等价于：$p(t)\ge p(\ln x)$

只需要：$t\ge \ln x$恒成立，即：
$$x-1-\ln x\ge -\ln a$$
而：$(x-1-\ln x{)}_{\min }=0$，所以只需要$-\ln a\le 0$

解得$a\ge 1$

[另解：端点效应充分性证明]

端点效应得$a\ge 1$，证明充分性即可，

注意到：
$$\begin{array}{rl}f(x)=a{e}^{x-1}-\ln x+\ln a\ge e^{x-1}-\ln x+0& =e^{x-1}-\ln x\\ & \ge (x-1+1)-(x-1)\\ & =1\end{array}$$
所以$a\ge 1$

$Pra.9.5$

设实数$m>0,\forall x\ge e$，恒有$x^2\ln x-m{e}^{\frac{m}{x}}\ge 0$,求$m$最大值.

• $Solution:$$m_{\max }=e$

不妨令$t=\frac{m}{x}$，那么$m=tx$

代入得：
$$x^2\ln x-tx{e}^t\ge 0$$

也即：
$$x\ln x-t{e}^t\ge 0$$
构造函数$g(x)=x{e}^x$，$g(x)$在$(-1,+\infty )$递增

等价于：
$$g(\ln x)\ge g(t)$$
而：$\ln x\ge 1,t>0>-1$

于是：
$$\ln x\ge t=\frac{m}{x}(x\ge e)$$
所以：$m\le e$

$Pra.9.6$

已知函数$f(x)=m\cdot \ln (x+1)-3x-3.$

若不等式$f(x)>mx-3e^x$在$x\in (0,+\infty )$恒成立，求实数$m$的取值范围.

• $Solution$：$m\le 3$

等价于：
$$m\ln (x+1)-3(x+1)>mx-3e^x$$
构造函数$g(x)=m\ln x-3x$

等价于：$g(x+1)>g(e^x)$恒成立，而$e^x>x+1>1(x>0)$

且$g(0+1)=g(e^0)$

只需要$g(x)$在$(1,+\infty )$严格单调递减即可，即：
$$g^{\prime }(x)=\frac{m}{x}-3=\frac{m-3x}{x}<0$$
所以$m\le 3$

$Pra.9.7$ [与反函数相关的同构]

设$a^x>{\log }_{a}x$对于$\forall x>0$恒成立，求$a$范围.

• $Solution$：显然$a>1$，同构：

$$e^{x\ln a}>\frac{\ln x}{\ln a}\iff (x\ln a)e^{x\ln a}>x\ln x$$

构造函数$f(x)=x\ln x$，在$x>0$时递增，于是只需要：
$$e^{x\ln a}>x\iff x\ln a>\ln x$$
构造函数$g(x)=\frac{\ln x}{x}$即可，得到：
$$\ln a>(\frac{\ln x}{x}{)}_{\max }=\frac{1}{e}\Rightarrow a>e^{\frac{1}{e}}$$
[反函数法] 考虑到$a^x$和${\log }_{a}x$是反函数，只需要满足：
$$a^x>x$$
即可，取对数得：
$$x\ln a>\ln x$$
其余同上，略。