逻辑函数(表示方法、形式转换、化简、最小项、最大项)

逻辑函数：
若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量取值确定以后，输出的取值也随之而定。输入与输出之间是一种函数关系。
如：Y=F（A,B,C……）
在二值逻辑中，输入、输出都只有两种取值：0、1。

【1. 逻辑函数的表示方法】

真值表、逻辑式、逻辑图、波形图。

1. 真值表
   
2. 逻辑式
   将输出与输入之间的逻辑关系用与、或、非的运算式进行表示。
   
3. 逻辑图
   用逻辑图形符号标识逻辑运算关系，与电路的实现相对应。
4. 波形图
   将输入变量所有取值组合与对应输出按时间顺序排列，画成波形。

【2. 逻辑函数形式的变换】

1. 波形图→真值表
从波形图上找出每个时间段里输入变量与函数输出的取值，然后将这些输入、输出取值对应列表，就得到了所求的真值表。即穷举。

2. 真值表→波形图
将真值表中所有的输入变量与对应的输出变量取值依次排列成以时间为横轴的波形。

3. 真值表→逻辑式
①找出真值表中使逻辑函数Y=1的那些输入变量取值的组合。
②每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，其中取值为1的写入原变量，取值为0的写入反变量。
③将这些乘积项相加，即得Y的逻辑式。

5. 逻辑式→真值表
将输入变量取值的所有组合状态逐一带入逻辑式求出函数值，即得真值表。

6. 逻辑式→逻辑图
用逻辑图形符号代替逻辑函数式中的逻辑运算符号并按运算优先顺序将它们连接起来即可。

7. 逻辑图→逻辑式
从逻辑图的输入端到输出端逐级写出每个图形符号的输出逻辑式，即可在输出端得到逻辑式。

【3. 逻辑函数的化简】

逻辑式的最简形式
以最简与或逻辑式为例：
（1）包含的与项已经最少。
（2）每个与项的因子也已经最少。
公式化简法：
反复应用基本公式和常用公式，消去多余的与项和多余的因子。
PS：化简的过程、结果不唯一。

【4. 逻辑函数的最小项】

1. 最小项
在有n个变量的逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。
即：包含所有变量且每个变量只出现一次的乘积项。

2. 最小项的编号

3. 最小项的性质
①对于n变量逻辑函数有2^n个最小项。
②在输人变量的任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1。
③全体最小项之和为1。
④任意两个最小项的乘积为0。
⑤具有相邻的两个最小项之和可以合并，消去一对公因子，只留下公共因子。
相邻：仅一个因子不同的最小项。
如：A’BC’ 和 A’BC
A’BC’+A’BC=A’B(C+C’)=A’B

【5. 逻辑函数的最大项】

1. 最大项
在有n个变量的逻辑函数中，若M为n个变量之和，且每个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则M为该组变量的最大项。

2. 最大项的编号

3. 最大项的性质
①对于n变量逻辑函数有2^n个最大项。
②在输人变量的任一取值下，有且仅有一个最大项的值为0。
③全体最小项之积为0。
④任意两个最大项之和为1。
⑤具有相邻的两个最大项之积可以合并，消去一对公因子，只留下公共因子。
相邻：仅一个因子不同的最大项。
如：A’+B+C 和 A’+B+C’
(A’+B+C)(A’+B+C’)=A’+B+CC’=A’+B

【6. 最小项和最大项的关系】

相同编号的最小项和最大项互为反函数。

【7. 最小项之和、最大项之积】

1. 最小项之和

$$最小项之和Y(A,B,C)=\sum m(7,4,0)$$
2. 最大项之积

$$最大项之积Y(A,B,C)=\prod M(0,3,7)$$
2. 最小项之和、最大项之积的转化

1. $最小项之和Y(A,B,C)=\sum m(1,2,4,6,7)$
2. $则Y^{\prime }(A,B,C)=\sum m(0,3,5)=(m_0+m_3+m_5)$
3. $Y(A,B,C)=[Y^{\prime }(A,B,C){]}^{\prime }=(m_0+m_3+m_5{)}^{\prime }=m_0^{\prime }\cdot m_3^{\prime }\cdot m_5^{\prime }=M_0\cdot M_3\cdot M_5=\prod M(0,3,5)$
   $$即Y(A,B,C)=\sum m(1,2,4,6,7)=\prod M(0,3,5)$$