信号的频谱搬移

【1.傅里叶变换的频移性质】

$$时域连续时间信号：e^{\pm j{\Omega }_{0}t}f(t)=e^{\pm j2\pi f_{0}t}f(t)\iff X(f\mp f_0)$$
$$数字域离散时间信号：e^{\pm j{w}_{0}n}f(n)=e^{\pm j2\pi \frac{f_0}{f_s}n}f(n)\iff X(f\mp f_0)$$
其中，$f$ 为信号实际频率（单位为 赫兹 Hz），$\Omega =2\pi f$ 为模拟角频率（单位为 赫兹 Hz），$w=2\pi \frac{f_0}{f_s}$ 为数字角频率（单位为 弧度/样值rad/sample）。从时域到数字域式子的改变是由于采样的原因即 $t=n\times t_s=\frac{n}{f_s}$，有关数字角频率和模拟角频率的详情请转到博主的这篇文章：数字角频率w、模拟角频率Ω 。

• 将一个时域连续信号乘以复指数信号 $e^{j2\pi f_{0}t}$，可以使频谱向上搬移 $f_0$ Hz，频谱从 $X(f)$ 变为 $X(f-f_0)$，该过程被称为 上变频；
  类似的，将一个时域信号乘以复指数信号 $e^{-j2\pi f_{0}t}$，可以将其频谱向下搬移 $f_0$ Hz，频谱从 $X(f)$ 变为 $X(f+f_0)$，该过程被称为 下变频。
  上变频和下变频又统称为 正交混频。
• 将一个数字域离散信号乘以复指数信号 $e^{j2\pi \frac{f_0}{f_s}n}$，可以使频谱向上搬移 $f_0$ Hz，频谱从 $X(f)$ 变为 $X(f-f_0)$；
  类似的，将一个数字域离散信号乘以复指数信号 $e^{-j2\pi \frac{f_0}{f_s}n}$，可以将其频谱向下搬移 $f_0$ Hz，频谱从 $X(f)$ 变为 $X(f+f_0)$。

【2.代码】

%%%% 实现频谱向上搬移200Hz
%% [预处理]
clc;       %清除命令窗口
clear;     %清除工作空间的变量和函数
clf;       %清除图形

%% [采样参数]
fs=4096;   %采样频率 (Hz)  
ts=1/fs;   %采样周期 (s)
N=5000;    %采样点数 (个)
n=0:N-1;   %采样点索引
t=n*ts;    %采样时间轴

%% [被采信号] 
fa=100;           %信号a的频率
fb=900;           %信号b的频率
xn=2.5+sin(2*pi*fa*t)+3*sin(2*pi*fb*t); %被采信号=信号a+信号b

%% [原信号的频谱]
M=4096;        %FFT运算点数
X=fft(xn,M);   %FFT输出值
k=0:M-1;       %频率点索引
f=fs*k/(M-1);  %频率轴

subplot(1,2,1);
stem(f,abs(X));  %序列图
xlabel('频率');  %横轴坐标
ylabel('幅度');  %纵轴坐标
title("原信号的频谱");
grid;            %显示表格线

%% [频移后的频谱]
xn_shift=xn.*exp(1i*2*pi*200/4096.*n);

M=4096;        %FFT运算点数
X_shiift=fft(xn_shift,M);   %FFT输出值
k=0:M-1;       %频率点索引
f=fs*k/(M-1);  %频率轴

%% [作图]
subplot(1,2,2);
stem(f,abs(X_shiift));  %序列图
xlabel('频率');  %横轴坐标
ylabel('幅度');  %纵轴坐标
title('频移后的频谱');
grid;            %显示表格线