【数据结构】第4章 串

这是本人根据王道考研数据结构课程整理的笔记，希望对您有帮助。

4.1 串

4.1.1 串的定义和基本操作

串的定义

串，即字符串（String）是由零个或多个字符组成的有限序列。一般记为：$S{=}^{\prime }{a}_1{a}_2\dots a_n^{\prime }(n\ge 0)$（C、Java用双引号，Python用单引号）。

• $S$是串名，单括号括起来的字符序列是串的值
• $a_i$可以是字母、数字或其他字符
• 串中字符的个数$n$称为串的长度
• $n=0$时的串称为空串
• 子串：串中任意个连续的字符组成的子序列
• 主串：包含子串的串
• 字符在主串中的位置：字符在串中的序号（从1开始）
• 子串在主串中的位置：子串的第一个字符在主串中的位置

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串和线性表

串是一种特殊的线性表，数据元素之间呈线性关系

串的数据对象限定为字符集（如中文字符、英文字符、数字字符、标点字符等）

串的基本操作，如增删改查等通常以字串为操作对象

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串的基本操作

假设有串T=""，S="iPhone 11 Pro Max"，W="Pro"

StrAssign(&T, chars)：赋值操作。把串T赋值为chars。

StrCopy(&T, S)：复制操作。由串S复制得到串T。

StrEmpty(S)：判空操作。若S为空串，则返回true，否则返回false。

StrLength(S)：求串长。返回串S的元素个数。

ClearString(&S)：清空操作。将S清为空串。

DestroyString(&S)：销毁串。将串S销毁（回收存储空间）。

Concat(&T, S1, S2)：串联接。用T返回由S1和S2联接而成的新串。

SubString(&Sub, S, pos, len)：求子串。用Sub返回串S的第pos个字符起长度为len的字串。

Index(S, T)：定位操作。若主串S中存在与串T值相同的子串，则返回它在主串S中第一次出现的位置；否则函数值为0。

StrCompare(S, T)：比较操作。若S>T，则返回值>0；若S=T，则返回值=0；若S=T，则返回值=0；若S

• 英文字符——ASCII码
• 中英文字符——Unicode字符集
  • 对于同一个字符集，可以有多种编码方案，如：UTF-8，UTF-16。

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总结：

4.1.2 串的存储结构

串的顺序存储

//【静态数组】定长顺序存储
#define MAXLEN 255
typedef struct
{
    char ch[MAXLEN];
    int length;
}SString;

//【动态数组】堆分配存储
typedef struct
{
    char *ch;
    int length;
}HString;

HString S;
S.ch = (char *)malloc(MAXLEN * sizeof(char));
S.length = 0;

串的链式存储

SubString(&Sub, S, pos, len)：求子串。用Sub返回串S的第pos个字符起长度为len的字串。

bool SubString(SString &Sub, SString S, int pos, int len)
{
    //子串范围越界
    if(pos+len-1 > S.length)
        return false;
    for(int i = pos; i < pos + len; i++)
        Sub.ch[i-pos+1] = S.ch[i];
    Sub.length = len;
    return true;
}

StrCompare(S, T)：比较操作。若S>T，则返回值>0；若S=T，则返回值=0；若S=T，则返回值=0；若S

int StrCompare(SString S, SString T)
{
    for(int i=1; i<=S.length && i<=T.length; i++)
    {
        if(S.ch[i] != T.ch[i])
            return S.ch[i]-T.ch[i];
    }
    //扫描过的所有字符都相同，则长度长的串更大
    return S.length-T.length;
}

Index(S, T)：定位操作。若主串S中存在与串T值相同的子串，则返回它在主串S中第一次出现的位置；否则函数值为0。

int Index(SString S, SString T)
{
    int i = 1, n = StrLength(S), m = StrLength(T);
    SString sub;	//用于暂存子串
    while(i <= n-m+1)
    {
        SubString(sub, S, i, m);
        if(StrCompare(sub, T) != 0)
            ++i;
        else return i;	//返回子串再主串中的位置
    }
    return 0;	//S中不存在于T相等的子串
}

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总结：

4.2 串的模式匹配

4.2.1 串的朴素模式匹配算法

串的模式匹配：再主串中找到与模式串相同的子串，并返回其所在位置。

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int Index(SString S, SString T)
{
    int k = 1;
    int i = k, j = 1;
    while(i<=S.length && j<=T.length)
    {
    	if(S.ch[i]==T.ch[j])
        {
            ++i;
            ++j;
        }
        else
        {
            k++;
            i = k;
            j = 1;
        }
    }
    if(j > T.length)
        return k;
    else
        return 0;
}

4.2.2 KMP算法

朴素模式匹配算法的缺点：当某些子串与模式串能部分匹配时，主串的扫描指针i经常回溯，导致时间开销增加。

求next数组的方法

串的前缀：包含第一个字符，且不包含最后一个字符的子串合集。（如果是单字符就不是前缀）

串的后缀：包含最后一个字符，且不包含最后一个字符的子串合集。（如果是单字符就不是前缀）

模式串取前缀（从前往后取），主串取后缀（从后往前取），看看前缀和后缀是否相等。最长相等前后缀的长度+1即为next[j]的值。

注：

1. 结论：next[1] = 0
2. 结论：next[2] = 1

void get_next(SString T, int next[])
{
    int j = 1; k = 0;
    next[1] = 0;
    while(j < T.length)
    {
        if(k == 0 || T.ch[j] == T.ch[k])
        {
            ++j;
            ++k;
            //若pj = pk，则next[j+1] = next[j] + 1
            next[j] = k;
        }
        else
            //否则令k = next[k]，循环继续
            k = next[k];
    }
}

代码解释：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Ly5izgEe-1650375154062)(数据结构.assets\051048038058339.png)]

假设第j位以及第j位之前next数组的都填完了，那么就会有如下已知条件：

• next[j] == k → A1子串 == A2子串
• next[k] == 绿色色块所在的索引 → B1子串 == B2子串
• next[绿色色块所在的索引] == 黄色色块所在的索引 → C1子串 == C2子串

由上面的结论可以衍生出：

• A1子串 == A2子串 + B1子串 == B2子串 → B1子串 == B2子串 == B3子串
• B1子串 == B2子串 == B3子串 + C1子串 == C2子串 → C1子串 == C2子串 == C3子串 == C4子串

现在考虑第j+1位的情况：

1. 如果str[j] == str[k]，那么很明显next[j+1] == k+1（比较A1子串和A2子串延长后是否仍然一致）
2. 如果str[j] != str[k]，那么令k == next[k]（比较B1子串和B3子串延长后是否仍然一致），继续上一步操作直至str[j] == str[k]。

KMP算法

int Index_KMP(SString S, SString T, int next[])
{
    int i = 1, j = 1;
    while(i <= S.length && j <= T.length)
    {
        if(j == 0 || S.ch[i] == T.ch[j])
        {
            ++i;
            ++j;	//继续比较后继字符
        }
        else
        {
            j = next[j];	//模式串向右移动
        }
    }
    if(j > T.length)
        return i - T.length;	//匹配成功
    else
        return 0;
}

KMP算法优化

在匹配j=4时，匹配失败会跳到j=1，但是此时j=1对应的模式串也是g，这一次的对比是毫无意义的。

由此引出了nextval数组：

nextval数组的求法：

//【先算出next数组】
//【令nextval[1] = 0】
for(int j = 2; j<=T.length; j++)
{
    if(T.ch[next[j]] == T.ch[j])
        nextval[j] = nextval[next[j]];
    else
        nextval[j] = next[j];
}