[BZOJ 3191][JLOI 2013]卡牌游戏

觉得这题很有必要讲一下！

现在发现在做概率题，基本是向 dp 和 马尔可夫链 靠齐

但是这一题真是把我坑了，因为状态太多，马式链什么的直接死了

我一开始的想法就是用 f[i][j] 表示剩余 i 个人，现由 j 坐庄

恩～ dp 方程还是老好想的嘛～

wait! wait!! wait!!! 这尼马有后效性啊！有后效性啊！！

然后想了半天毫无进展，一看题解……

哎呦我 c 

 

其实那个方程几乎对了，但！是！有后效性就要用重标号的方法去掉！

怎么算去了呢？

其实……谁是谁更本不重要！

如果我们对每个人 i 都重标号为 0 ，列一次方程，那么每次都只算第 0 个人 （变为 0~n-1 个人） 存活的概率 即 f[1][0] 即可

所有方程的区别只在边界条件不同而已，标号什么的完全不用管，也就没有后效性了！

然后我们只要保证 0 不 over 即可，其他的都可以不用管了

若这一轮的标号是 0~i , 然后第 j 个人 over 的话

新标号为 0~i-1, 但是这里的 j~i-1 其实是原来的 j+1~i

但是我们不用去管标号变了的问题，因为本质上是一样的

 

f[i][(j+a[k]-1)%(i+1)]+=f[i+1][j]/M

 

这么写就可以了，但是还有个问题：

0 是不能被删的我们注意到在 f[i+1] -> f[i] 时

f[i][0] 其实是 0 被删去后 1 变为 0 坐庄的概率

但 0 存活到了最后，这是无法取的（事实上若 0 活到了最后，1 就不可能坐庄）

那么 f[i][0] 其实是什么呢？

f[i][i]!

因为这是一个环，在剩余 i+1 个人时，删掉了第 i 个人，在坐庄时当然由第 0 人来，这时所有人都没有被重标号

 

 1 #include <cstdio>

 2 #include <cstring>

 3 const int sizeOfPlayer=55;

 4 const int sizeOfCard=55;

 5 

 6 inline int getint();

 7 

 8 int N, M;

 9 int a[sizeOfCard];

10 double f[sizeOfPlayer][sizeOfCard];

11 

12 int main()

13 {

14     N=getint(), M=getint();

15     for (int i=0;i<M;i++)

16         a[i]=getint();

17 

18     for (int p=0;p<N;p++)

19     {

20         memset(f, 0, sizeof(f));

21         f[N][(N-p)%N]=1.0;

22         for (int i=N-1;i;i--)

23         {

24             for (int j=0;j<=i;j++)

25                 for (int k=0;k<M;k++)

26                     f[i][(j+a[k]-1)%(i+1)]+=f[i+1][j]/M;

27             f[i][0]=f[i][i];

28         }

29 

30         if (p) putchar(' ');

31         printf("%.2lf%%", f[1][0]*100);

32     }

33 

34     putchar('\n');

35 

36     return 0;

37 }

38 

39 inline int getint()

40 {

41     register int num=0;

42     register char ch;

43     do ch=getchar(); while (ch<'0' || ch>'9');

44     do num=num*10+ch-'0', ch=getchar(); while (ch>='0' && ch<='9');

45     return num;

46 }

说的不清楚还请见谅